확산의 물리: Fick 법칙

원자는 왜 퍼질까: 무작위 걸음

홈 화면의 첫 실험에서 표면에 놓인 원자들이 뜨거워지자 실리콘 속으로 퍼져 들어가는 모습을 보았다. 이 장은 그 장면을 한 걸음씩 풀어 보는 데서 시작한다. 원자는 왜 퍼질까? 누가 밀어 주는 것도 아니고, 원자가 농도가 낮은 쪽을 알아서 찾아가는 것도 아니다. 답은 뜻밖에 단순하다. 아무렇게나 뛰기 때문에 퍼진다.

고체 속 원자는 제자리에 가만히 있지 않고 쉴 새 없이 떤다. 격자 진동의 진동수는 1초에 10¹³~10¹⁴번이다. 대부분의 떨림은 원자를 제자리로 되돌려 놓지만, 아주 드물게 이웃 원자 사이를 비집고 넘을 만큼 큰 에너지를 얻으면 옆 자리로 옮겨 간다. 이 한 번의 뜀이 확산의 단위다. 얼마나 자주 뛰는지는 원자가 어디에 있느냐에 따라 크게 다르다. 실리콘 원자 사이의 빈틈, 곧 격자간 자리를 다니는 원자는 이웃 사이를 비집는 장벽 하나만 넘으면 되어서 상온에서도 1분에 한 번쯤 뛴다. 반면 실리콘 자리를 차지한 도펀트는 바로 옆에 빈자리가 있어야 움직일 수 있다. 빈자리가 생기는 데 드는 에너지와 장벽을 함께 넘어야 하므로(합쳐서 약 3~4 eV) 상온에서는 10⁴⁵년에 한 번꼴로만 뛴다. 도펀트를 움직이려면 1,000 °C 안팎의 고온이 필요한 이유다. 이 차이는 5절과 7절에서 다시 만난다.

이제 뜀의 방향을 보자. 결정 속에서 원자가 왼쪽으로 뛸지 오른쪽으로 뛸지는 동전 던지기와 같다. 그렇다면 평균적으로 제자리에 있어야 하지 않을까? 평균 위치는 정말로 그대로다. 그런데도 원자 무리는 퍼진다. 비밀은 거리의 제곱에 있다. 한 걸음의 길이를 \(a\), 뛴 횟수를 \(N\)이라 하자. 걸음 하나하나가 서로 관계없이 \(+a\) 또는 \(-a\)이므로, 위치를 제곱해 평균하면 서로 다른 걸음끼리 곱한 항은 평균이 0이 되고 각 걸음의 제곱 \(a^2\)만 \(N\)개 남는다(원리에서 나온 계산).

퍼진 거리가 시간에 비례하지 않고 시간의 제곱근에 비례한다는 것, 이것이 확산의 첫 번째 얼굴이다. 100걸음 동안 10칸 퍼진 무리가 20칸 퍼지려면 200걸음이 아니라 400걸음이 필요하다. 아래 애니메이션에서 원자 하나하나의 걸음과 무리 전체의 폭을 함께 지켜보자.

무작위 걸음에서 1차원 확산 계수를 \(D = \Gamma a^2/2\)로 정의하면 위 식은 \(\langle x^2\rangle = 2Dt\)가 된다(원리에서 나온 계산). 3차원 격자에서 이웃한 원자층 사이를 오가는 원자를 같은 방식으로 세면 \(D = d^2\Gamma/6\) 꼴이 나온다. 어느 쪽이든 \(D\)는 '한 번 뛰는 거리의 제곱 × 뛰는 빈도'이고, 그래서 단위가 cm²/s, 곧 넓이를 시간으로 나눈 꼴이다. 원자 하나의 뜀은 예측할 수 없지만 수많은 원자의 무리는 \(D\) 하나로 정확하게 기술된다. 그 기술이 다음 절의 Fick 법칙이다.

Fick 제1법칙: 흐름은 기울기를 따라 내려간다

원자를 하나하나 따라가는 대신 무리를 농도로 보자. 깊이 방향으로 붙어 있는 얇은 두 층을 생각한다. 왼쪽 층에는 원자가 \(N_1\)개, 오른쪽 층에는 \(N_2\)개 있고, 모든 원자는 같은 빈도로 좌우로 뛴다. 그러면 왼쪽에서 오른쪽으로 넘어가는 원자 수는 \(N_1\)에, 반대로 넘어오는 수는 \(N_2\)에 비례한다. 둘을 빼면 알짜 흐름은 \(N_1 - N_2\)에 비례한다. 원자 하나하나는 어느 쪽이 진한지 모르지만, 진한 쪽에서 출발하는 원자가 더 많으니 결과적으로 진한 곳에서 묽은 곳으로 흐름이 생긴다. Portland State 대학의 강의 자료도 이웃한 두 층 사이를 오가는 원자를 이렇게 세어, 흐름이 농도 기울기에 비례한다는 결론을 이끌어 낸다.

이 관계를 식으로 쓴 것이 Fick 제1법칙(Fick's first law)이다.

식이 말하는 것은 세 가지다. 첫째, 흐름(Flux, F)은 농도 자체가 아니라 농도 기울기(Concentration gradient)에 비례한다. 농도가 아무리 높아도 고르게 퍼져 있으면 알짜 흐름은 없다. 둘째, 앞의 음(−) 부호는 흐름이 기울기를 거슬러, 곧 농도가 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 내려간다는 뜻이다. 셋째, 비례 상수가 확산 계수(Diffusivity, D)다. 단위는 cm²/s이고, 원자가 에너지 장벽을 넘어 뛰는 과정에서 나오므로 온도에 지수적으로 의존한다. 실리콘 결정에서 D는 방향에 관계없이 같다. 같은 꼴의 법칙을 다른 곳에서도 만난다. 열은 온도 기울기를 따라 흐르고(Fourier 법칙), 전류는 전위 기울기를 따라 흐른다(Ohm 법칙).

숫자로 감을 잡아 보자. 5절의 상수로 계산하면 1,000 °C에서 붕소의 D는 약 2×10⁻¹⁴ cm²/s다. 농도가 1 µm마다 10¹⁸ cm⁻³씩 줄어드는 기울기(10²² cm⁻⁴)라면 흐름은 \(F \approx 2\times10^{-14}\times10^{22} = 2\times10^{8}\) cm⁻²·s⁻¹이다(계산). 1 cm²를 1초에 2억 개가 지나간다니 많아 보이지만, 10¹⁴ cm⁻²만큼의 원자를 이 빠르기로 옮기려면 6일쯤 걸린다(계산). 고체 속 확산은 그만큼 느리다.

Fick 제2법칙: 들어온 만큼 쌓인다

제1법칙은 지금 이 순간 원자가 어느 쪽으로 얼마나 흐르는지만 알려 준다. 농도가 시간에 따라 어떻게 바뀌는지 알려면 한 가지 사실을 더해야 한다. 원자는 확산하는 동안 사라지거나 새로 생기지 않는다는 것, 곧 보존(Conservation)이다. 두께 \(\Delta x\)인 얇은 상자를 생각하자. 왼쪽 벽으로 \(F_{\text{in}}\)이 들어오고 오른쪽 벽으로 \(F_{\text{out}}\)이 나간다면, 상자 속 원자 수는 그 차이만큼 늘어난다.

셋째 줄이 Fick 제2법칙(Fick's second law), 곧 확산 방정식이다. 오른쪽의 \(\partial^2 C/\partial x^2\)는 농도 곡선이 휘어진 정도, 곧 곡률이다. 그래서 이 법칙은 그림으로 읽을 수 있다. 위로 볼록한 곳(봉우리)은 양옆으로 나가는 흐름이 들어오는 흐름보다 커서 농도가 줄어든다. 아래로 볼록한 곳(골짜기나 봉우리의 기슭)은 들어오는 흐름이 더 커서 차오른다. 곧게 뻗은 비탈은 흐름이 있어도 들어온 만큼 나가므로 농도가 변하지 않는다(원리에서 나온 해석). 확산은 이렇게 솟은 곳을 깎아 골을 메우며 분포를 평평하게 만든다.

D가 상수라는 가정은 실제 공정에서 잘 맞지 않을 때가 많지만, 해석적으로 풀 수 있는 것은 이 꼴뿐이다. 그래도 이 꼴에서 아주 중요한 사실 하나를 끌어낼 수 있다. 방정식 안에는 농도 \(C\), 깊이 \(x\), 시간 \(t\), 그리고 \(D\)밖에 없다. \(D\)의 단위가 cm²/s이므로 길이와 시간을 엮을 수 있는 조합은 \(\sqrt{Dt}\) 하나뿐이고, 다음 절의 해에서도 깊이는 언제나 \(x/\sqrt{Dt}\)의 꼴로만 나타난다(원리에서 나온 해석). 그래서 확산이 나아간 거리는 \(\sqrt{Dt}\)에 비례하고, 공정에서는 \(2\sqrt{Dt}\)를 확산 길이(Diffusion length)라 부른다. 1절의 무작위 걸음에서 본 √t가 연속체의 방정식에서도 그대로 나타나는 것이다.

여기서 두 가지 결론이 따라 나온다. 첫째, 깊이를 두 배로 하려면 시간을 네 배로 늘려야 한다. 둘째, 분포를 정하는 것은 \(D\)와 \(t\) 각각이 아니라 곱 \(Dt\)다. 높은 온도에서 짧게 하든 낮은 온도에서 길게 하든, D가 상수인 이상적인 경우라면 \(Dt\)가 같을 때 같은 분포가 나온다. 이 \(Dt\)가 6절에서 볼 열 예산의 정체다.

두 가지 해: erfc와 Gauss

확산 방정식의 해는 경계 조건, 곧 표면에서 무슨 일이 일어나느냐에 따라 달라진다. 공정에서 만나는 경우는 크게 두 가지다. 표면에서 도펀트를 계속 대 주느냐, 정해진 양만 넣고 공급을 끊느냐다.

표면 농도가 일정할 때: erfc

도펀트가 든 기체나 막을 표면에 계속 대 주면서 가열하면, 표면 바로 안쪽의 농도는 그 온도에서 실리콘이 받아들일 수 있는 최대치, 곧 고용도(Solid solubility)에 묶인다. 예를 들어 950 °C에서 붕소의 고용도는 2.5×10²⁰ cm⁻³다. 이렇게 표면 농도 \(C_s\)가 고정된 경우의 해는 상보 오차 함수(erfc, Complementary error function)다. 얇은 Gaussian 조각을 끝없이 이어 붙인 공급원이 각자 퍼진 결과를 모두 더한 것으로 이해할 수 있다.

표면 농도는 그대로인데 들어간 총량 \(Q\)는 \(\sqrt{t}\)에 비례해 계속 늘어난다. 공급원이 열려 있으니 시간이 갈수록 더 들어가지만, 안쪽으로 갈수록 기울기가 완만해져 들어가는 빠르기는 점점 느려진다(원리에서 나온 해석).

총량이 일정할 때: Gauss

이번에는 정해진 양 \(Q\)를 표면 근처에 얇게 넣은 뒤 공급을 끊고 가열하는 경우다. 도펀트는 표면 밖으로 나가지 못하고(표면에서 되튄다) 안으로만 퍼진다. 표면 너머에 같은 양의 가상 공급원이 거울처럼 있다고 놓으면, 무한히 넓은 매질 속 Gaussian의 두 배인 꼴이 해가 된다.

총량 \(Q\)는 그대로이고, 표면 농도는 \(1/\sqrt{t}\)로 줄어든다. 같은 양이 점점 넓게 퍼지니 높이가 낮아지는 것이다. 이온 주입한 분포를 열처리할 때도 같은 일이 일어난다. 주입 직후의 Gaussian 폭 \(\Delta R_p\)는 열처리 뒤 \(\sqrt{\Delta R_p^2 + 2Dt}\)로 넓어진다. 이 이야기는 IMP 책 6장 「어닐링과 활성화」에 자세하다.

접합 깊이

도펀트의 농도가 기판에 원래 들어 있던 반대형 도핑 \(N_B\)와 같아지는 깊이가 접합 깊이(Junction depth, \(x_j\))다. 위의 두 해에서 \(C(x_j) = N_B\)로 놓고 풀면 다음 식이 나온다.

두 식 모두 확산 길이 \(2\sqrt{Dt}\)에 숫자 하나를 곱한 꼴이다. erfc의 경우 그 숫자는 \(N_B/C_s\)로만 정해지므로 시간을 네 배로 늘리면 접합 깊이가 정확히 두 배가 된다. Gauss는 시간이 지나면 표면 농도가 낮아져 로그 안의 값이 줄어드므로 두 배에 조금 못 미친다(원리에서 나온 해석). 아래 시뮬레이터에서 두 해를 나란히 놓고 비교해 보자.

③을 식으로 확인해 보자. 같은 Dt에서 erfc가 넣은 양 \(Q = 2C_s\sqrt{Dt/\pi}\)를 Gauss에 그대로 주면, Gauss의 표면 농도는 \(Q/\sqrt{\pi Dt} = 2C_s/\pi \approx 0.64\,C_s\)가 된다(위 두 식으로 계산). erfc는 시간 내내 표면에서 조금씩 들여보내 온 양이고, Gauss는 처음부터 다 넣고 같은 시간 동안 퍼뜨린 양이다. 그래서 같은 양이라도 Gauss 쪽이 더 깊이 가 있다.

두 단계 공정: Predeposition과 Drive-in

두 해를 이어 붙이면 고전적인 확산 공정의 뼈대가 된다. 먼저 Predeposition(사전 증착, 줄여서 Predep)에서 표면 농도를 고용도로 고정한 채 짧게 가열해 필요한 양을 넣는다. 다음 Drive-in(밀어 넣기 확산)에서 공급원을 걷어 내고 더 오래 가열해, 넣은 양을 원하는 접합 깊이와 표면 농도로 다시 펼친다. 양은 Predep이, 깊이는 Drive-in이 맡는 셈이다.

Drive-in 뒤의 분포를 Gauss 식으로 계산하려면 조건이 하나 붙는다. Predep에서 쓴 Dt가 Drive-in의 Dt보다 충분히 작아서, 처음 분포를 표면의 얇은 층으로 볼 수 있어야 한다. 6절의 CHALLENGE에서 이 두 단계를 직접 설계해 본다.

오늘날 대부분의 도핑은 이온 주입으로 한다. EE212 강의 자료는 두 방법을 이렇게 비교한다. 이온 주입은 상온에서 마스크를 쓸 수 있고 10¹¹~10¹⁶ cm⁻²의 Dose와 깊이를 정밀하게 맞출 수 있지만, 주입 손상이 확산을 키운다. 기체·고체 공급원 확산은 손상이 없고 여러 장을 한꺼번에 처리할 수 있지만, 표면 농도가 보통 고용도에 묶이고, 낮은 표면 농도는 긴 Drive-in 없이는 얻기 어려우며, 양이 적은 Predep은 매우 어렵다. 그래도 이온 주입 뒤에는 반드시 열처리가 따르고, 그때 도펀트가 움직이는 방식은 이 장의 식이 그대로 설명한다.

온도와 Arrhenius 식

지금까지 D를 그냥 주어진 상수로 다뤘다. 이제 D가 어디서 오는지 보자. 1절에서 원자가 옆 자리로 뛰려면 에너지 장벽을 넘어야 한다고 했다. 열에너지로 이 장벽을 넘을 확률은 \(\exp(-E/kT)\)에 비례하고, 강의 자료들은 뜀 빈도를 격자 진동수와 이 인자의 곱으로 쓴다. 그래서 확산 계수는 온도에 대해 다음 꼴을 따른다.

이 꼴을 Arrhenius 식(Arrhenius equation)이라 하고, \(E_a\)를 활성화 에너지(Activation energy)라 한다. 치환형 도펀트의 활성화 에너지는 3~4 eV로, 1,000 °C의 열에너지 \(kT \approx 0.11\) eV보다 30배쯤 크다(계산). 장벽이 열에너지보다 훨씬 높으니, 장벽을 넘는 원자는 극히 일부이고 그 비율은 온도가 조금만 올라도 크게 늘어난다. 확산이 온도에 '지수적으로' 민감한 까닭이다. 실리콘 공정의 주요 도펀트 값은 다음과 같다.

표에서 보듯 같은 온도에서 As와 Sb는 B와 P보다 한 자릿수 가까이 느리다(계산). EE212 강의 자료도 이 차이를 '느린' 확산 원소와 '빠른' 확산 원소로 짚는다. 한편 표의 값은 '진성'일 때의 값인데, 공정 온도에서는 진성 캐리어 농도가 매우 커서 생각보다 많은 경우에 이 값이 그대로 쓰인다. 그렇지 않은 경우는 3장에서 다룬다.

붕소의 값은 출처마다 다르다

붕소는 강의 자료와 교재마다 상수가 다르다. 아래 네 쌍은 모두 이 장을 쓰며 직접 확인한 값이다. 1,000 °C에서 계산하면 1.4×10⁻¹⁴에서 2.6×10⁻¹⁴ cm²/s까지 1.9배쯤 흩어진다(계산). 이 장은 IMP 책 6장과 같은 Waterloo 강의 자료의 값을 쓴다. 흥미롭게도 EE212 강의 자료가 자기 예제에서 쓴 1,100 °C의 값(1.5×10⁻¹³ cm²/s)은 자기 표보다 CityU 값에 더 가깝다(계산). D 하나에 이 정도의 폭이 있다는 것은 시뮬레이터의 숫자를 '정답'이 아니라 크기의 어림으로 읽어야 한다는 뜻이다.

그러면 온도는 확산을 얼마나 바꿀까? 직접 답을 먼저 골라 보자.

그래프의 근거: 직선은 표 1의 상수로 계산했다. 가로축은 절대 온도의 역수(1/T) 눈금에 섭씨 온도를 적었다. 이 눈금에서 Arrhenius 식은 직선이 되고, 기울기가 가파를수록 활성화 에너지가 크다.

거꾸로 100 °C 내리면 D는 B에서 약 1/10, As에서 약 1/14로 줄어든다(계산). 같은 식을 상온까지 늘려 보면 B의 D는 10⁻⁵⁹ cm²/s 수준으로 1,000 °C의 10⁴⁵분의 1쯤이다(계산). 1절에서 본 '10⁴⁵년에 한 번'과 같은 크기다. 완성된 칩 속의 접합이 상온에서 사실상 움직이지 않는 까닭이 여기에 있다(원리에서 나온 해석).

열 예산: 모든 열 공정의 Dt를 더한다

3절에서 분포를 정하는 것은 곱 \(Dt\)라고 했다. 웨이퍼가 온도 \(T_1\)에서 \(t_1\), 이어서 \(T_2\)에서 \(t_2\) 동안 가열되면 전체 효과는 각 단계의 \(Dt\)를 더한 값이다. 온도가 시간에 따라 계속 바뀌면 합은 적분이 된다.

이 합이 열 예산(Thermal budget)이다. EE212 강의 자료는 합의 일부 항은 무시해도 될 만큼 작을 수 있다고 덧붙이고, Waterloo 강의 자료는 최종 분포가 전체 Dt로 정해지며 가장 뜨거운 단계가 지배한다고 정리한다. 5절에서 본 것처럼 100 °C마다 D가 열 배씩 변하니, 합의 대부분을 가장 뜨거운 단계 하나가 차지하는 것은 자연스럽다. 예를 들어 1,100 °C 10분과 900 °C 60분을 거친 붕소라면, 표 1의 상수로 계산할 때 Dt의 96%가 1,100 °C 단계에서 나온다(계산).

그런데 '단계'만 세면 놓치는 것이 있다. 웨이퍼는 순간이동하듯 목표 온도에 닿지 않는다. 퍼니스의 승온·냉각 속도는 약 0.1 °C/s로, 10~350 °C/s인 RTP와 비교하면 매우 느리다. 온도가 오르내리는 동안에도 확산은 일어난다. PSU 강의 자료는 온도를 일정한 속도 \(C\)로 내릴 때 목표 온도 \(T_0\)에서 \(kT_0^2/(C E_a)\)만큼 더 머문 것과 같다고 어림하고, 900 °C에서 20분에 900 °C씩, 곧 분당 45 °C로 내리면(활성화 에너지 4 eV) 900 °C에서 약 45초를 더 머문 셈이라는 예를 든다. 같은 식으로 다시 계산하면 약 40초다(계산). 아래 시뮬레이터로 승온과 냉각이 열 예산에 얼마나 보태지는지 직접 보자.

설계해 보기: 목표 접합에서 거꾸로

이제 지금까지의 식을 거꾸로 써서 공정 조건을 정해 보자. EE212 강의 자료에는 CMOS Well을 붕소 확산으로 만드는 설계 예제가 있다. 목표는 면저항 900 Ω/□, 접합 깊이 3 µm, 기판 농도 10¹⁵ cm⁻³다. 면저항과 깊이로 평균 전도도를 구하고 Irvin 곡선에서 표면 농도 약 4×10¹⁷ cm⁻³를 읽은 뒤, Drive-in 뒤의 분포를 Gauss로 놓아 \(Dt = x_j^2/[4\ln(C_s/C_B)] = 3.7\times10^{-9}\) cm²를 얻는다. 1,100 °C에서 붕소의 D를 1.5×10⁻¹³ cm²/s로 놓으면 Drive-in은 6.8시간이고, 필요한 양은 \(Q = C_s\sqrt{\pi Dt} = 4.3\times10^{13}\) cm⁻²다. 이 양을 950 °C의 기체·고체 공급원 Predep으로 넣는다면(고용도 2.5×10²⁰ cm⁻³, D = 4.2×10⁻¹⁵ cm²/s) Predep은 고작 5.5초다. Predep의 Dt가 Drive-in보다 훨씬 작으니 Gauss 근사도 성립한다.

두 가지를 눈여겨보자. 첫째, 5.5초짜리 Predep은 현실적으로 맞추기 어렵다. 같은 자료는 이 정도의 양이면 표면 가까이에 이온 주입으로 쉽게 넣을 수 있다고 덧붙인다. 앞에서 본 '적은 양의 Predep은 매우 어렵다'는 말의 실제 모습이다. 둘째, 이 장의 붕소 상수로 같은 계산을 하면 Drive-in은 약 5.1시간, Predep은 약 4.2초가 나온다(계산). 5절의 '붕소의 값은 출처마다 다르다'가 설계 결과를 30%쯤 바꾸는 셈이다. 아래 CHALLENGE의 세 번째 문제가 바로 이 예제다.

원자 수준에서 본 확산

Fick 법칙은 원자가 '얼마나' 퍼지는지 알려 주지만, '어떻게' 움직이는지는 말하지 않는다. 그 그림이 있어야 3장의 현상들이 이해된다. 출발점은 이것이다. 도펀트는 대개 실리콘 원자의 자리, 곧 치환 자리에 있어야 전기적으로 일한다. 그런데 1절에서 보았듯 치환 자리의 원자는 혼자서는 거의 움직이지 못한다. 움직이려면 결정 속의 작은 흠, 곧 점결함(Point defect)의 도움이 필요하다. 원자가 빠진 빈자리인 공공(Vacancy, V)과, 격자 사이에 끼어든 실리콘 원자인 격자간 원자(Interstitial, I)다.

그림의 기구를 하나씩 보자. 이웃 원자와 자리를 직접 맞바꾸는 직접 교환보다, 옆의 빈자리로 옮겨 가는 빈자리 교환이 에너지가 적게 들어 훨씬 일어나기 쉽다. Interstitialcy 기구에서는 격자간 실리콘이 치환 자리의 도펀트를 밀어내 격자간 자리로 보내고, 도펀트는 얼마간 이동한 뒤 다시 치환 자리로 돌아간다. 격자간 실리콘이 치환 원자를 쫓아내는 반응을 Kick-out(밀어내기), 격자간 원자가 빈자리에 들어가 치환 자리를 차지하는 반응을 Frank–Turnbull 기구(Frank–Turnbull mechanism)라 한다. 공정 모델에서는 이것들을 도펀트 A와 점결함의 짝짓기 반응 \(A + V \rightleftharpoons AV\), \(A + I \rightleftharpoons AI\)로 쓰고, 두 경로는 수학적으로 같은 꼴이다.

이 그림이 주는 결론은 하나다. 확산 계수는 그 자리의 점결함 농도에 비례한다. 그리고 점결함의 농도는 온도에 지수적으로 의존할 뿐 아니라 페르미 준위, 이온 주입 손상, 산화 같은 표면 공정에 따라서도 달라진다. 표 1의 D는 점결함이 평형 상태일 때의 값이다. 이온 주입 뒤의 열처리에서는 도펀트가 평소보다 훨씬 빨리 확산한다. 산화나 주입 손상이 점결함의 수를 바꾸면 같은 온도에서도 D가 달라지는 것이다. 이것이 3장의 OED와 TED이고, IMP 책 6장에서 본 TED도 같은 뿌리다. Fahey, Griffin, Plummer의 리뷰는 3·5족 도펀트의 확산을 이런 점결함과의 상호작용으로 묶어 공정 시뮬레이터가 쓸 수 있는 모델의 틀을 세웠다.

실리콘 원자 자신도 같은 방식으로 움직인다. 이것을 자기 확산(Self-diffusion)이라 한다. 표 1의 상수는 D₀ = 560 cm²/s, Eₐ = 4.76 eV로, 같은 온도의 도펀트보다 훨씬 느리다. 동위원소로 층을 쌓은 실험은 855~1,388 °C에서 자기 확산이 일곱 자릿수에 걸쳐 하나의 활성화 엔탈피 4.75 eV로 설명되며, 이는 자기 격자간 원자가 자기 확산을 지배한다는 뜻이라고 보고했다.

유난히 빠른 원소들

모든 원소가 점결함을 기다려야 하는 것은 아니다. PSU 강의 자료는 실리콘 속 불순물을 세 무리로 나눈다. B, Al, Ga, In, Sb, As, P는 치환형, H, Na, Li, K 같은 원소는 격자간형, Co, Cu, Au, Fe, Ni, Pt, Ag는 두 자리를 오가는 혼합형이다. 격자 사이를 직접 뛰는 원소는 빈자리를 만드는 에너지가 필요 없으므로 활성화 에너지가 0.5~1.5 eV 정도로 낮다. 결정립계나 전위를 따라가는 확산은 결정 속보다 세 자릿수 이상 빠르다.

숫자가 얼마나 극단적인지 보자. 2013년 측정에서 얻은 니켈의 확산 계수 \(D_{\text{Ni}} = 1.69\times10^{-4}\exp(-0.15\ \text{eV}/kT)\) cm²/s는 그전까지 오래 쓰이던 식보다 1,150 °C 아래에서 더 크고, 상온으로 늘려 보면 몇 자릿수 더 크다. 이 식으로 1,000 °C의 값을 계산하면 약 4×10⁻⁵ cm²/s로, 같은 온도의 붕소보다 10⁹배쯤 크고, 1초 동안의 \(\sqrt{Dt}\)가 약 70 µm다(계산). 구리의 확산 장벽은 0.18 eV이며, 이 측정을 한 연구진은 널리 쓰이던 Hall–Racette 식이 붕소를 많이 넣은 실리콘의 유효 확산 계수일 뿐이라 다른 도핑이나 낮은 온도로 늘려 쓸 수 없다고 지적했다. 금은 격자간 자리와 치환 자리 사이의 평형을 자기 격자간 원자가 맞추는 Kick-out으로 확산한다고 보아야 실험이 설명된다.