회절과 해상도

그림자가 아니라 회절

노광을 처음 배울 때는 사진기나 영사기를 떠올리게 된다. 마스크(Reticle)에 그린 무늬를 렌즈로 줄여 웨이퍼 위의 감광막(PR)에 비추면 된다. 렌즈를 만드는 ZEISS도 노광 장비를 거꾸로 놓은 슬라이드 영사기에 빗대어, Reticle의 무늬를 네 배 줄여 비춘다고 설명한다. 그렇다면 렌즈를 더 정밀하게 만들기만 하면 무늬를 얼마든지 작게 찍을 수 있을까? 그렇지 않다. 무늬가 빛의 파장에 가까울 만큼 작아지면, 마스크를 지난 빛은 무늬 모양을 그대로 실은 그림자처럼 곧게 나아가지 않고 여러 방향으로 갈라진다. 이 현상이 회절(Diffraction)이다. 이 장의 모든 이야기는 회절에서 출발한다.

먼저 투영 노광 장비의 광학계를 한 줄로 늘어놓아 보자. 빛을 내는 광원과 그 빛을 마스크에 고르게 비추는 집광 렌즈가 있고(둘을 합쳐 조명계라 한다), 무늬가 그려진 마스크, 마스크를 지난 빛을 모아 상을 맺는 대물 렌즈, 그리고 PR을 바른 웨이퍼가 차례로 놓인다. 여기서 '렌즈'는 유리알 하나가 아니라 굴절 소자와 반사 소자 여러 개를 묶은 광학계 전체를 말한다. Mack은 대물 렌즈가 하는 일을 한 문장으로 정리한다. 마스크가 만든 회절 무늬의 일부를 받아 웨이퍼 위에 상으로 투영하는 것이다. '일부'라는 말이 이 장 전체의 열쇠다.

회절 무늬는 어떤 모양일까. 스칼라 회절 이론을 Fraunhofer 근사로 단순화하면, 렌즈로 들어가는 빛의 분포는 마스크 투과율 \(m(x,y)\)의 푸리에 변환(Fourier transform)이 된다.

푸리에 변환의 성질 하나가 바로 쓸모 있다. 무늬가 좁을수록 변환은 넓게 퍼진다. 폭이 \(w\)인 투명한 틈 하나는 sinc 모양의 회절 무늬를 만들고, 그 가운데 봉우리의 폭은 \(\lambda/w\)에 비례한다(푸리에 변환에서 나온 해석). 틈을 반으로 좁히면 빛은 두 배 넓은 각도로 퍼진다는 뜻이다. 아래 그림은 같은 렌즈 앞에 넓은 틈과 좁은 틈을 놓았을 때 빛이 퍼지는 각도를 견준 것이다. 넓은 틈의 빛은 대부분 렌즈 안으로 들어가지만, 좁은 틈의 빛은 상당 부분이 렌즈 밖으로 빠져나간다.

격자: 띄엄띄엄한 방향으로만 가는 빛

반도체 마스크의 많은 무늬는 같은 폭의 선과 간격이 되풀이되는 라인/스페이스(Line/Space, L/S)다. 선 하나와 간격 하나를 더한 되풀이 길이를 피치(Pitch, p)라 한다. 이렇게 주기적인 무늬는 빛에게 회절 격자다. 틈 하나와 달리 격자의 회절 무늬는 연속으로 퍼지지 않고 띄엄띄엄한 방향으로만 빛을 보낸다. 이 낱낱의 빛줄기를 회절 차수(Diffraction order)라 한다. 공간 주파수로 보면 0차는 \(f = 0\)에, ±1차는 \(f = \pm 1/p\)에, \(m\)차는 \(f = m/p\)에 놓인다. 이것을 방향의 사인값으로 바꿔 쓰면 격자 방정식이 된다.

식이 말하는 것은 단순하다. 피치가 작을수록, 파장이 길수록 차수는 큰 각도로 벌어진다. 0차는 피치와 상관없이 언제나 곧장 나아간다. Mack은 0차를 '크기에 대한 정보를 싣지 않은 직류(DC) 빛'이라 부른다. 무늬의 피치를 알고 있는 것은 1차 이상의 차수다. 그리고 \(\sin\theta\)는 1을 넘을 수 없으므로, \(\lambda/p\)가 1보다 크면 ±1차는 아예 퍼져 나가지 못한다(식에서 나온 해석). ArF 빛(193 nm)과 피치 400 nm라면 ±1차는 \(\sin\theta_1 = 0.48\), 곧 약 29° 방향으로 나간다(계산).

차수의 방향은 피치가 정하고, 차수마다의 세기는 한 주기 안의 모양이 정한다. 선과 간격의 폭이 같은 1:1 차광 마스크라면 투과율을 푸리에 급수로 풀어 각 차수의 진폭을 바로 얻는다. 0차는 1/2, \(m\)차는 \(\sin(\pi m/2)/(\pi m)\)이다(푸리에 급수로 계산한 값이며, Mack이 든 결맞은 L/S 상의 식과 같다). 표 1에 정리했다. 짝수 차수는 진폭이 0이라 1:1 격자에서는 사라진다. 통과한 빛 가운데 절반은 0차이고, ±1차 둘이 약 41%, 나머지 차수를 모두 합쳐 약 9%다(계산).

아래 애니메이션에서 피치와 파장, 렌즈의 크기를 바꾸며 차수가 어디로 가는지 보자. 반원은 빛이 나아갈 수 있는 모든 방향이고, 굵은 파란 호가 렌즈가 받아들이는 방향이다. 아래의 가로축은 각 차수의 \(\sin\theta\)를 옮겨 적은 것으로, 다음 절에서 '동공'이라 부를 좌표다.

피치를 줄이면 1차가 렌즈 밖으로 나가 0차만 남는다. 0차만으로는 무엇이 찍힐까? 그것이 다음 절의 질문이다.

렌즈가 차수를 모은다: NA와 상

렌즈는 무한히 크지 않다. 렌즈가 받아들이는 빛의 가장 큰 반각을 \(\theta_{\max}\)라 하면, 렌즈가 빛을 모으는 능력은 개구수(Numerical Aperture, NA)로 나타낸다.

공간 주파수로 말하면 렌즈를 지날 수 있는 가장 높은 주파수는 \(\mathrm{NA}/\lambda\)다. 그래서 이상적인 렌즈를 공간 주파수 평면에서 보면, 반지름 \(\mathrm{NA}/\lambda\)인 원 안의 빛은 그대로 통과시키고 밖의 빛은 막는 원판이다. 이 원판을 동공(Pupil)이라 하고, 통과 여부를 1과 0으로 적은 함수를 동공 함수라 한다. 웨이퍼 위의 빛 진폭은 마스크의 푸리에 변환에 동공 함수를 곱한 뒤 다시 거꾸로 변환한 것이고, 그 세기 \(|E|^2\)가 공간상(Aerial image)이다. 상의 질이 동공의 크기로만 제한되는 광학계를 '회절 한계' 광학계라 한다.

이제 앞 절의 격자를 이 렌즈로 찍어 보자. 조명이 마스크를 수직으로 비추는 가장 단순한 경우, 곧 결맞은 조명(Coherent illumination)이라면 피치가 클 때는 0차, ±1차, ±3차 … 여러 차수가 렌즈에 들어가 마스크 무늬를 꽤 닮은 상을 만든다. 피치를 줄이면 높은 차수부터 렌즈 밖으로 빠져나간다. 0차와 ±1차만 남았을 때의 상은 Mack의 칼럼에 나와 있다.

사각형이던 마스크 무늬가 둥근 코사인 무늬로 바뀌었지만 피치는 그대로 살아 있다. 그런데 피치를 더 줄여 ±1차마저 렌즈 밖으로 나가면 어떻게 될까. 0차 하나만 남는다. 0차는 방향이 하나뿐인 평면파이므로 웨이퍼 위 어디에서나 세기가 같다. 무늬가 통째로 사라지는 것이다. Mack은 이렇게 정리한다. 렌즈가 마스크의 참된 상을 만들려면 0차와 적어도 하나의 더 높은 차수를 함께 받아야 한다. 이 생각이 노광 시뮬레이터가 상을 계산하는 기본 틀이다. TU Wien의 노광 시뮬레이션 학위논문도 스칼라 회절 → 렌즈의 위상 변환 → 결상계의 푸리에 해석 → 주기 마스크의 조명 순서로 같은 틀을 쌓는다.

그러면 결맞은 수직 조명에서 찍을 수 있는 가장 작은 피치가 바로 나온다. 1차가 동공 끝에 걸리는 순간, 곧 \(\lambda/p = \mathrm{NA}\)일 때다.

숫자로 보자. ArF 건식 장비(λ = 193 nm, NA 0.93)에서 수직 조명의 최소 피치는 약 208 nm, ArF 액침 장비(NA 1.35)에서는 약 143 nm다(계산). 오늘날 ArF 액침으로 찍는 피치가 이보다 훨씬 작다는 것은 수직 조명이 아닌 다른 길이 있다는 뜻이다. 그 길은 4절에서 연다. 먼저 아래 시뮬레이터에서 차수를 하나씩 잃을 때 상이 무엇을 잃는지 보자.

높은 차수는 무늬의 모서리처럼 날카로운 부분을 담당하고, ±1차는 무늬의 존재 자체를 담당한다. 그래서 차수를 잃을 때마다 상은 먼저 모서리를 잃고, ±1차를 잃는 순간 모든 것을 잃는다. 반대로 ±1차 하나만 확보하면, 모양은 둥글어도 피치가 같은 무늬는 생긴다. PR은 문턱보다 많은 빛을 받은 곳만 녹으므로(5장), 둥근 코사인 무늬로도 반듯한 선을 만들 수 있다. 3절에서 볼 오늘날 장비의 k₁(0.27~0.33)이라면 피치가 λ/NA보다 작아서, 렌즈를 지나는 것은 0차와 1차 하나뿐이다(계산). 미세 패턴의 노광은 이처럼 1차를 겨우 붙잡은 상황에서 이루어진다.

Rayleigh 식과 k₁: 파장과 NA의 역사

앞 절의 0.5λ/NA는 결맞은 수직 조명과 완벽한 감광막을 가정한 숫자다. 실제 공정에서는 조명의 모양, 마스크의 종류, 감광막의 성질, 패턴의 종류가 모두 한계를 바꾼다. 그래서 업계는 이것을 모두 계수 하나에 담은 Rayleigh 식(Rayleigh criterion)으로 해상도를 말한다.

R을 줄이는 길은 셋이다. 파장을 줄이거나, NA를 키우거나, k₁(k1 factor)을 낮추는 것이다. ASML은 k₁이 칩 제조 공정의 여러 요소에 달려 있다고 설명하면서, 노광의 물리적 한계를 k₁ = 0.25라고 못 박는다. Erdmann 등도 선폭과 간격이 같은 조밀한 선에서 k₁ = 0.25를 한 번 노광의 이론적 한계로 두고, k₁이 0.6보다 크면 상이 마스크를 거의 그대로 닮지만 작아질수록 모서리가 둥글어지고 선 끝이 짧아지며 조밀한 선과 고립된 선의 크기가 달라진다고 정리한다. 0.25는 앞 절의 결맞은 한계 0.5에서 다시 절반인데, 그 절반을 얻는 방법이 4절의 사입사 조명이다.

k₁을 '공정 상수'라 부르는 데에는 함정이 있다. Mack은 공정에 따라 바뀌는 상수라는 말은 차라리 '모르는 변수'라 부르는 편이 정확하며, Rayleigh의 두 식은 경향을 보여 주는 스케일링 식일 뿐이라고 지적한다. 또 DOF 식은 해상 한계에 있는 패턴에만 들어맞는다. 그래서 k₁은 '얼마나 어려운 노광인가'를 나타내는 눈금으로 쓰는 것이 좋다. 그 눈금은 시대에 따라 내려왔다. 1993년 리뷰는 k₁을 보통 0.4~0.9, k₂를 0.5~1.0으로 인용했고, 1998년 학위논문은 둘 다 0.5~1.0, 1999년 Stanford 강의 자료는 k₁을 약 0.6~0.8로 적었다. 오늘날의 장비는 아래 그림처럼 0.27~0.33 근처에서 일한다.

파장과 NA를 줄이고 키워 온 길

파장의 역사부터 보자. ASML의 설명에 따르면 첫 노광 장비는 수은 램프의 g-line(436 nm)으로 약 1 µm의 패턴을 찍었고, i-line(365 nm)은 1 µm 아래로 내려가 끝내 220 nm에 이르렀다. 1980년대 중반부터 쓰인 원자외선(DUV) 엑시머 레이저 가운데 KrF(248 nm)는 150 nm까지 내려갔고 오늘날의 KrF 장비는 80 nm까지 찍는다. ArF(193 nm)는 38 nm를 가능하게 했고, EUV는 13.5 nm로 DUV보다 14배 넘게 짧다. 1998년의 학위논문은 g-line을 0.8 µm까지, i-line을 0.35 µm까지 썼고 248 nm는 0.25 µm용으로 시험 생산 중이며 193 nm는 0.18 µm용으로 검토된다고 적었다. 같은 무렵 Stanford 강의 자료는 선폭이 3년마다 0.7배씩 줄고, 노광이 웨이퍼 제조 원가의 약 35%를 차지한다고 정리했다.

NA도 꾸준히 커졌다. 렌즈의 NA는 1978년 0.28, 1985년 0.38을 거쳐 1998년 약 0.65에 이르렀고, 당시 설계자들은 0.8을 개발하고 있었다. 공기 중에서는 1을 넘을 수 없는 이 값을 물이 1.35까지 끌어올렸다(6절). EUV는 파장을 크게 줄인 대신 NA가 0.33으로 작고, 다음 세대는 0.55다.

장비 이름에는 서로 다른 기준이 섞여 있어 처음 보면 헷갈린다. i-line은 수은 램프에서 골라 쓰는 365 nm의 빛이고, KrF와 ArF는 엑시머 레이저 속 기체의 이름이다. 반면 액침(Immersion)은 광원의 이름이 아니라 마지막 렌즈와 웨이퍼 사이를 물로 채우는 방식이다. 그래서 ArF 건식과 ArF 액침은 같은 193 nm 레이저를 쓰고 렌즈 아래의 매질만 다르다. EUV는 렌즈 대신 다층막 거울을 진공 속에서 쓴다. Nikon의 공개 제품군에는 지금도 i-line Stepper, KrF Scanner, ArF 건식 Scanner, ArF 액침 Scanner가 함께 올라 있다. 칩 하나를 만드는 수십 개의 층이 모두 가장 짧은 파장을 필요로 하지는 않기 때문이다. 층마다 필요한 크기와 위치 정밀도, 처리량과 비용이 다르므로 노광 방식은 층의 요구에 맞춰 고른다. 그리고 장비의 파장은 공정 노드의 이름이나 실제 회로 치수와 다른 숫자라는 점도 구분해 두자.

해상도와 초점 심도의 맞바꿈

Rayleigh의 두 번째 식은 대가를 말한다. 초점이 \(\delta\)만큼 어긋나면, 렌즈에서 웨이퍼로 모이던 구면파의 곡률이 틀어진다. 광축과 \(\theta\)의 각을 이루는 빛은 축 위의 빛보다 \(\delta(1-\cos\theta) \approx \tfrac{1}{2}\delta\sin^2\theta\)만큼 경로가 달라진다. 이 경로 차가 \(k_2\lambda/4\)를 넘지 않는 범위를 DOF로 잡으면 \(\mathrm{DOF} = k_2\lambda/\sin^2\theta\)이고, 해상 한계의 패턴에서는 \(\sin\theta = \mathrm{NA}\)이므로 \(k_2\lambda/\mathrm{NA}^2\)이 된다. 1차의 방향 \(\sin\theta = \lambda/p\)를 넣으면 피치가 정해진 무늬의 DOF는 \(p^2/\lambda\)에 비례한다. 피치를 반으로 줄이면 DOF는 4분의 1이 된다.

같은 계수를 놓고 NA만 키우면 어떻게 될까. λ = 193 nm, k₁ = 0.30, k₂ = 0.50을 고정하고 NA를 0.90에서 1.35로 키운다고 해 보자. R은 64.3 nm에서 42.9 nm로 2/3가 되고, DOF는 119 nm에서 53 nm로 4/9가 된다(계산, 학습용 가정이며 실제 두 장비의 성능이 아니다). 해상도를 얻은 대가로 초점 여유를 더 크게 잃는 것이다. 한편 두 식에서 NA를 지우면 \(\mathrm{DOF} = (k_2/k_1^2)\,W^2/\lambda\)가 된다. 같은 크기 \(W\)를 같은 k 값으로 찍는다면 파장이 짧을수록 DOF가 오히려 크다. 짧은 파장이 NA 키우기보다 '덜 아픈' 길인 이유다. 1999년 강의 자료의 예처럼 KrF에 NA 0.6이면 해상도 약 0.3 µm(k₁ = 0.75), DOF 약 ±0.35 µm(k₂ = 0.5)였다. 지금의 액침 장비와 견주면 해상도는 열 배 가까이 좋아졌고 초점 여유는 그보다 훨씬 빠듯해졌다.

조명을 기울이면: 사입사 조명과 부분 간섭성

1절에서 0차는 언제나 곧장 나아간다고 했다. 그것은 조명이 마스크를 수직으로 비출 때의 이야기다. 조명을 \(\theta'\)만큼 기울이면 회절 무늬 전체가 동공 안에서 옆으로 미끄러진다. 미끄러지는 거리는 공간 주파수로 \(\sin\theta'/\lambda\)다. 차수 사이의 간격은 그대로이고, 무늬 전체가 통째로 옆으로 옮겨 갈 뿐이다.

이것을 영리하게 쓰면 해상도를 두 배로 늘릴 수 있다. 0차를 동공의 한쪽 끝에 놓으면, 반대쪽 끝까지 동공의 지름 전체(\(2\mathrm{NA}/\lambda\))를 0차와 1차 사이의 거리로 쓸 수 있다. 그러면 반 피치 \(R = 0.25\lambda/\mathrm{NA}\)까지 내려간다. 피치로는 \(\lambda/(2\mathrm{NA})\)이고, Mack은 이것이 선폭 비율에 상관없이 성립하는 궁극의 피치 해상도이며, 공기 중에서는 NA가 1을 넘지 못하니 이론적 한계는 파장의 절반이라고 정리한다. 3절의 k₁ = 0.25가 바로 이 숫자다.

(나)의 경우 렌즈를 지나는 빛은 0차와 1차 하나, 둘뿐이다. 이것을 두 빔 결상(Two-beam imaging)이라 하고, 수직 조명에서 0차와 ±1차 셋이 지나는 경우를 세 빔 결상(Three-beam imaging)이라 한다. 빔이 둘뿐이어도 피치 \(p\)인 무늬는 생긴다. 서로 다른 각 \(\theta_1, \theta_2\)로 오는 두 평면파는 주기가 \(\lambda/(\sin\theta_1 - \sin\theta_2)\)인 간섭무늬를 만들기 때문이다. 0차와 +1차의 사인값 차가 정확히 \(\lambda/p\)이므로 무늬의 주기는 마스크의 피치와 같다. 그러면 조명을 기울이는 것만으로 정말 결맞은 한계보다 작은 피치가 찍힐까? 직접 골라 보자.

그림의 근거: 공간상은 PHOTO 책 엔진의 스칼라 Abbe 적분으로 계산했다(초점이 맞은 1:1 차광 마스크, 극의 벌어진 각 40°). 0차와 1차의 동공 거리 λ/(p·NA)와 두 빔 결상의 원리는 Mack의 칼럼을 따랐다.

광원은 점이 아니다: 부분 간섭도 σ

실제 조명은 한 방향에서만 오지 않는다. 조명계가 마스크를 비추는 빛은 여러 방향을 품은 원뿔이다. 이 원뿔 반각의 사인값을 투영 렌즈의 NA로 나눈 값을 부분 간섭도(Partial coherence factor, σ)라 한다. 집광 렌즈의 NA를 투영 렌즈의 NA로 나눈 값이라 해도 같다. σ가 0이면 완전히 결맞은 조명(한 방향), σ가 아주 크면 모든 방향에서 오는 결어긋난 조명이다. 동공 그림으로 보면 σ는 0차가 차지하는 원판의 반지름이다(동공 반지름을 1로 놓을 때). 넓은 광원은 동공 속 차수 하나하나를 원판으로 넓힌다. 1999년 강의 자료는 당시 장비의 σ를 0.5~0.7로, 1998년 학위논문은 0.4~0.7로 적고 σ가 0.2처럼 작으면 가장자리가 출렁이는 근접 효과가 커진다고 덧붙였다.

σ가 있으면 원판의 바깥쪽 가장자리, 곧 가장 많이 기울어진 빛이 가장 먼저 1차를 동공 안으로 끌어들인다. 그래서 최소 피치는 다음처럼 줄어든다.

여러 방향의 빛을 어떻게 더할까. 열 광원이나 여러 모드로 발진하는 엑시머 레이저의 광원 점들은 서로 결맞지 않다. 그래서 광원 점 하나마다 결맞은 상을 따로 계산한 뒤 세기를 더하면 된다. 이것이 상 계산의 Abbe 방식(Abbe's method)이다. 이 장의 시뮬레이터가 모두 이 방식으로 계산한다. 광원 점마다 어느 차수가 동공을 지나는지가 다르므로, 같은 마스크라도 조명의 모양에 따라 상이 달라진다. 다음 절이 그 이야기다.

조명 모양: Annular·Dipole·Quad와 SMO

기울인 빛이 그렇게 좋다면 수직에 가까운 빛은 무슨 일을 할까. 미세 피치에서 동공 가운데의 빛은 1차를 렌즈에 넣지 못하고 0차만 보낸다. 0차만으로는 무늬가 생기지 않으니, 이 빛은 바탕을 고르게 밝혀 대비만 떨어뜨린다. Kirchauer는 고리 모양이나 네 극 모양의 조리개가 정보가 없는 수직 성분, 곧 0차만 지나는 빛을 막아 DOF를 줄이지 않고 k₁을 낮춘다고 설명한다. 이렇게 빛을 일부러 비스듬히만 비추는 방법을 사입사 조명(Off-axis illumination, OAI)이라 한다. ASML도 조명계가 빛을 기울여 비추는 사입사 조명으로 회절을 다스리며, 동공 모양이 단순한 점부터 복잡한 점무늬까지 다양하다고 설명한다.

모양마다 최적의 자리가 있다. Mack은 공간 주파수를 NA/λ로 나눈 '시그마 공간'에서 이렇게 정리한다. 0차와 1차의 거리는 \(\lambda/(p\,\mathrm{NA})\)이므로, 두 차수가 동공 가운데를 사이에 두고 대칭으로 놓이려면 0차를 가운데에서 \(\lambda/(2p\,\mathrm{NA})\)만큼 옮기면 된다. 양쪽으로 기울인 빛을 함께 쓰면 그것이 쌍극 조명(Dipole illumination)이다. 세로선과 가로선을 함께 찍는 사극 조명(Quadrupole, Quad)은 극을 45° 방향에 두므로 극의 반지름이 \(\sqrt{2}\cdot\lambda/(2p\,\mathrm{NA})\)여야 한다. 고리형 조명(Annular illumination)은 Dipole을 모든 방향으로 돌려 놓은 것과 같아서, 고리의 가운데 반지름을 최적 Dipole 위치에 맞춘다. 예를 들어 ArF 액침 NA 1.35에서 피치 90 nm라면 최적 Dipole 위치는 σ ≈ 0.79이고, 같은 피치를 Quad로 찍으려면 극의 반지름이 1.12여야 해서 동공 밖이 된다(계산). 미세 피치의 한 방향 선에 Dipole이 쓰이는 이유다.

두 빔 결상에는 해상도 말고도 이점이 있다. 초점이 맞으면 모든 빔이 같은 위상으로 웨이퍼에 닿지만, 초점이 어긋나면 각도가 다른 빔은 서로 다른 경로를 지나 위상이 어긋난다. 0차와 ±1차가 다른 각으로 오는 세 빔의 상은 그래서 빨리 무너진다. 반면 두 빔이 광축을 사이에 두고 같은 각으로 오면, 초점이 어긋나도 두 빔이 똑같은 위상을 얻어 위상차가 0으로 남는다. 사입사 조명은 이진 마스크로 이 두 빔 결상을 흉내 낸다. 다만 한 피치에서만 그렇다. 모양마다 최적인 피치는 하나이고, 가장 나쁜 피치는 최적 피치의 정확히 두 배다. 그 피치에서는 한 차수가 동공 가운데에 떨어져 다시 각도가 다른 빔들이 섞이기 때문이다. 이런 피치를 금지 피치(Forbidden pitch)라 부른다.

아래 시뮬레이터의 왼쪽은 동공이다. 칠한 모양이 광원(0차)이고, 같은 모양을 \(\pm\lambda/(p\,\mathrm{NA})\)만큼 옮긴 것이 ±1차다. 동공 안에 든 부분만 웨이퍼에 닿는다. 0차와 1차가 함께 동공에 든 광원 부분만 무늬를 만든다는 점을 눈으로 확인하고, 초점을 어긋나게 해 피치별 대비 곡선이 어떻게 갈라지는지 보자.

사입사 조명은 그 피치를 위해 다른 피치를 희생한다. Mack의 1993년 시뮬레이션 연구도 고리형과 사극 조명이 최적화한 크기에서는 DOF를 늘리지만 다른 크기는 나빠질 수 있고 마스크 선형성도 나빠진다고 보고했다. 실제 칩에는 여러 피치가 섞여 있으니 조명은 타협이 된다. 이 타협을 한 걸음 더 밀고 간 것이 광원–마스크 최적화(Source-mask optimization, SMO)다. Rosenbluth 등은 광원 모양까지 바꿀 수 있으면 필요한 상의 대칭을 광원이 맡아 주므로 마스크에 새로운 자유도가 생긴다고 보였다. 그렇게 최적화한 마스크는 목표 무늬와 전혀 달라 보일 수 있고, 그들의 예에서 공정 윈도는 표준 해상도 향상 기법보다 2~6배 넓었다. ZEISS는 자유형 조명을 만드는 조명계와 마스크 무늬를 함께 최적화하는 것을 SMO라 부른다. 한 가지 주의할 점이 있다. 같은 SMO라는 약자를 장비사 사양표에서는 Single Machine Overlay, 곧 같은 장비로 두 층을 겹칠 때의 Overlay 성능이라는 뜻으로 쓴다. 앞뒤 문맥으로 어느 뜻인지 가려 읽어야 한다.

이제 지금까지의 원리로 직접 조명을 골라 보자. 장비와 피치가 주어지면, 원형·Annular·Dipole·Quad 가운데 무엇을 어떤 σ로 써야 목표 대비를 넘을까. 마지막 문제에는 함정이 하나 있다.

액침: 물로 NA를 1 위로

NA = n·sinθ에서 공기는 n = 1이고 sinθ는 1을 넘을 수 없으므로, 공기 중의 NA는 1보다 작다. ASML의 ArF 건식 장비 NXT:1470의 NA는 0.93이다. ASML은 물이 없었다면 NA를 1보다 크게 만드는 것은 불가능했고, 물을 쓴 덕분에 광학계의 NA가 1.35에 이른다고 설명한다. 이 기술은 2003년에 개발되었다. 마지막 렌즈와 웨이퍼 사이를 물로 채우는 이 방식을 액침 노광(Immersion lithography)이라 한다.

물이 어떻게 NA를 키울까. 평행한 막을 차례로 지나는 빛에서는 \(n\sin\theta\)가 보존된다(Snell 법칙). 렌즈 전체에 대해서도 \(n\sin\theta\)를 잇는 불변량이 있어서, 마스크 쪽에서 들어온 빛의 각도 정보가 웨이퍼 쪽의 \(n\sin\theta\)로 그대로 넘어온다. Mack은 이것을 이렇게 요약한다. 물은 빛의 각도를 키워 주는 것이 아니라, 큰 각도의 빛이 지나갈 수 있게 해 준다. 마지막 렌즈 아래가 공기면 \(n\sin\theta\)가 1을 넘는 빛은 공기로 나오지 못하고 렌즈 안에서 전반사된다. 물이 있으면 그 값이 물의 굴절률까지 지나갈 수 있다. 다만 레지스트의 굴절률(193 nm에서 약 1.7)보다는 작아야 한다. 193 nm에서 물의 굴절률은 약 1.44다.

더 정밀한 값으로, 물의 굴절률은 파장 193.39 nm, 21.50 °C에서 1.43662다. 물속에서 빛의 파장은 193.39/1.43662 ≈ 134.6 nm로 줄어드는 셈이다(계산). Lin도 액침이 193 nm를 사실상 135 nm로 줄인다고 표현했다. NA 1.35면 물속에서 빛의 반각은 약 70°, 레지스트 속(n ≈ 1.7)에서는 약 53°다(계산). 액침과 함께 검토되던 157 nm F₂ 노광에 대해 Lin은 이 파장의 박막 Pellicle이 열 번의 노광도 견디지 못했고 단단한 Pellicle은 양산에 맞지 않았으며 렌즈 재료 CaF₂의 품질과 양도 문제였다고 짚으며 193 nm 물 액침과 견주었다.

물에는 두 번째 이점이 있다. 같은 피치라면 레지스트 속의 각도는 같지만, 물속의 각도는 공기 속보다 작다. 그러면 초점이 어긋날 때 생기는 차수 사이의 경로 차가 줄어 DOF가 커진다. Mack은 정확한 식으로 이 이득을 풀어, 같은 피치에서 액침의 DOF가 건식의 \(n_{\text{fluid}}\)배 이상이고 가장 작은 피치에서는 그 이상으로 커진다고 보였다.

높은 NA에서는 편광이 대비를 정한다

지금까지는 빛의 진폭을 숫자 하나로 다뤘다(스칼라 모델). 그런데 빛은 전기장의 방향, 곧 편광을 가진 파동이다. 두 평면파는 전기장이 나란한 만큼만 간섭한다. 무늬의 선 방향과 나란하게 진동하는 TE(s) 편광의 두 파는 어떤 각으로 만나도 전기장이 완전히 겹치지만, 입사면 안에서 진동하는 TM(p) 편광의 두 파가 ±θ로 만나면 겹치는 정도가 \(\cos 2\theta\)로 줄어 무늬의 대비가 \(\cos 2\theta\)가 된다. θ가 45°면 TM 무늬의 대비는 0이다.

다행히 빛은 레지스트에 들어가며 꺾여 각도가 작아진다(\(\sin\theta_{\text{resist}} = \sin\theta_{\text{air}}/n\)). 그래서 Mack은 공기 중의 상(Aerial image)이 아니라 레지스트 속의 상을 봐야 한다고 강조한다. 그의 예에서 공기 중 30°로 만나는 두 TM 빔의 대비는 0.5이지만 레지스트(n = 1.7) 속에서는 0.83이고, NA 0.9에서 편광이 없는 두 빔의 대비는 공기 중 0.19에서 레지스트 속 0.72로 회복된다. 하지만 NA가 1을 넘는 액침에서는 레지스트 속 각도도 크다. Mack과 Byers의 시뮬레이션은 이런 '하이퍼 NA' 액침에서 해상도 이득을 온전히 얻으려면 조명의 편광을 골라야 하고, 편광 조절이 장비의 필수 기능이 될 것이라 결론지었다. 방위각(Azimuthal) 편광은 고리형·사극 조명에서 노광 여유를 높였다. 위 시뮬레이터의 TM 대비가 NA 1.2 근처에서 0이 되는 것이 그 이유다.

상의 품질: 대비와 NILS

지금까지 상의 좋고 나쁨을 대비(Image contrast) \((I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})\)로 쟀다. 대비는 직관적이지만 약점이 있다. Mack은 대비가 상을 '엉뚱한 곳'에서 잰다고 지적한다. 가장 밝은 곳과 가장 어두운 곳의 세기만 보는데, PR의 선폭이 정해지는 곳은 그 사이의 가장자리다. 게다가 큰 패턴에서는 대비가 거의 1이어서 좋은 상과 나쁜 상을 가르지 못한다.

그래서 노광 엔지니어는 가장자리에서의 기울기를 본다. 세기의 로그를 위치로 미분한 값을 이미지 로그 기울기(Image log-slope, ILS)라 하고, 여기에 패턴의 폭을 곱해 단위를 없앤 것을 NILS(Normalized image log-slope)라 한다. Mack은 NILS를 공간상이 노광에 얼마나 쓸모 있는지를 판단하는 가장 좋은 단일 지표라 부른다.

왜 하필 로그일까. Dose를 바꾸는 것은 세기 전체에 같은 수를 곱하는 것이다. PR의 가장자리가 '세기가 어떤 문턱을 넘는 곳'이라면, Dose를 \(\Delta E/E\)만큼 바꿀 때 가장자리는 \(\Delta\ln I = \Delta E/E\)를 메울 만큼 옮겨 가고, 그 거리는 \((\Delta E/E)/\mathrm{ILS}\)다(원리에서 나온 해석). 양쪽 가장자리가 함께 움직이니 선폭의 상대 변화는 Dose의 상대 변화에 \(2/\mathrm{NILS}\)를 곱한 만큼이다. Mack은 문턱이 완벽한 레지스트에서 \(\partial\ln\mathrm{CD}/\partial\ln E \approx 2/\mathrm{NILS}\)이고, 실제 레지스트는 여기에 현상 경로의 항이 더해진다고 정리한다. 같은 논리로 선폭 ±10%를 지키는 노광 여유는 이상적인 레지스트에서 \(\%\mathrm{EL} \approx 10\cdot\mathrm{NILS}\)다. NILS가 1 오를 때마다 노광 여유가 10%씩 느는 셈이다. 실제 레지스트는 \(\%\mathrm{EL} \approx \alpha(\mathrm{NILS} - \beta)\) 꼴을 따르는데, 248 nm의 한 예에서 \(8.9(\mathrm{NILS} - 0.5)\)였고 노광 여유 15%를 얻으려면 NILS가 2.2 이상이어야 했다.

위 시뮬레이터처럼 초점이 어긋나면 NILS가 떨어진다. 그래서 NILS가 가장 큰 초점을 최적 초점으로 삼기도 한다. EUV 마스크의 3차원 효과를 다룬 연구도 초점에 따른 NILS로 최적 초점을 정했다. NILS가 떨어지면 같은 Dose 흔들림에도 선폭이 더 크게 흔들리고, 초점과 Dose를 함께 견디는 범위, 곧 공정 윈도가 좁아진다. 이것을 Bossung 곡선과 FEM으로 재는 방법은 5장의 주제다. 이 장에서 기억할 것은 하나다. 회절과 조명과 액침이 하는 일은 결국 가장자리를 가파르게 만드는 것이다.

장비는 이 광학을 어떻게 구현하나

이 장의 변수들, 곧 파장 λ, 조명 모양과 σ, NA, 매질의 굴절률 n은 모두 Scanner 안의 구체적인 부품이 만든다. 아래 그림은 DUV Scanner의 빛길을 이 장의 눈으로 다시 그린 것이다. 부품마다 무엇을 만들고, 틀어지면 상에 무슨 일이 생기는지를 표 4에 정리했다. 기계적인 구조와 Stage, Alignment는 7장에서 자세히 다룬다.

수차: 동공 위의 위상 오차

이상적인 렌즈는 동공을 지나는 모든 차수에 같은 위상을 준다. 실제 렌즈는 동공의 자리마다 조금씩 다른 위상 오차를 준다. 이것이 수차(Aberration)다. 초점이 어긋나는 것도 동공 가장자리로 갈수록 위상이 늘어나는 수차의 하나로 볼 수 있다. 렌즈 설계와 검사에서는 동공 위의 위상 오차를 Zernike 다항식(Zernike polynomials)의 합으로 나타내고, 항마다 상에 주는 영향이 정리되어 있다.