Dose·Focus와 공정 윈도

Dose는 문턱을 옮긴다

노광의 첫 번째 손잡이는 빛의 양이다. Dose(노광량)(Exposure dose)는 단위 넓이에 들어온 노광 에너지이고 보통 mJ/cm²로 쓴다. 빛의 세기를 노광 시간 동안 쌓은 값이라고 생각하면 된다. 장비가 이 값을 어떻게 맞추는지는 7장에서 다루고, 여기서는 정해진 Dose가 레지스트에 어떻게 전달되는지부터 보자.

Dose는 Shot 하나에 하나의 숫자로 정해지지만, 레지스트의 모든 자리가 같은 에너지를 받지는 않는다. 마스크와 투영 광학계는 웨이퍼 위에 밝고 어두운 무늬, 곧 공간상(Aerial image)을 만든다. 4장에서 본 대로 이 상은 렌즈를 지난 회절광들이 간섭해서 생긴다. 그래서 자리 x에 있는 레지스트가 받는 에너지는 Dose에 상의 상대 세기 I(x)를 곱한 값이다. 투명한 바탕에서 I = 1이고, 차광 패턴 아래에서는 1보다 작다. 막 속으로 들어간 뒤에는 흡수와 반사 때문에 깊이 방향의 분포가 다시 달라지는데, 이것은 5절에서 따로 본다.

레지스트가 이 에너지를 어떻게 받아들이는지 가장 단순하게 그린 것이 문턱 모델(Threshold resist model)이다. Positive 레지스트는 받은 에너지가 어떤 문턱을 넘는 곳에서 현상액에 녹고, 넘지 못한 곳은 남는다고 본다. 문턱은 넓은 바탕에서 막이 바닥까지 다 녹는 데 필요한 Dose, 곧 2장의 Dose-to-clear E_th로 잡는다. 대비가 무한히 큰 이상적 레지스트를 가정해 노광 여유를 따지는 Mack의 칼럼과, Bossung 곡선을 푸리에 급수 상과 문턱 레지스트로 해석한 Mack과 Byers의 논문이 이 그림을 쓴다. 그러면 패턴의 가장자리는 다음 조건을 만족하는 자리다.

식의 오른쪽이 이 절의 요점이다. Dose를 올리면 문턱선 \(E_{th}/\text{Dose}\)가 내려간다. 문턱선이 낮아지면 상의 더 어두운 곳까지 문턱을 넘으므로 녹는 영역이 옆으로 넓어진다. 그 결과 남는 레지스트 선은 가늘어지고, 녹아서 열리는 공간이나 홀은 넓어진다. 같은 Dose 변화에 선의 CD와 공간의 CD가 반대 방향으로 움직이는 것이다. 그래서 Dose–CD 관계를 읽을 때는 먼저 무엇을 쟀는지, 남는 선인지 열린 공간인지부터 확인한다. 그림 1이 이 관계를 보여 준다.

목표 CD가 찍히는 Dose를 Dose-to-size(Dose to size)라고 부른다. Dose-to-clear가 '막을 다 녹이는 데 드는 양'이라면, Dose-to-size는 '이 패턴을 이 크기로 만드는 양'이다. 차광 선 가장자리의 세기는 바탕보다 훨씬 어두우므로 Dose-to-size는 Dose-to-clear의 몇 배가 된다. 아래 시뮬레이터는 이 장의 기준 조건, 곧 193 nm ArF 액침(NA 1.35, 물의 굴절률 1.44), 고리 조명(σ 0.6~0.9), 50 nm 선이 100 nm 피치로 늘어선 조밀 L/S로 계산한다. 물의 굴절률은 193 nm 근처에서 잰 1.437을 반올림했다. Dose-to-clear는 10 mJ/cm²로 두었다. 이것은 학습용 가정이지만, Mack이 193 nm 레지스트의 광자 수를 셀 때 예로 든 Dose-to-clear와 같은 크기다. 계산하면 이 조건의 Dose-to-size는 약 33.9 mJ/cm²다.

Dose가 조금 흔들릴 때 CD가 얼마나 움직이는지를 재는 지표가 노광 여유(Exposure latitude, EL)다. CD를 규격 안에 두는 Dose의 범위를 그 범위의 가운데 Dose에 대한 백분율로 나타낸다. 규격으로는 목표 CD의 ±10%를 흔히 쓰고, 실제 판정에는 측벽 각과 레지스트 손실 같은 형상 기준도 함께 쓴다. 위 시뮬레이터의 기준 조건에서 계산하면 31.6~36.7 mJ/cm² 사이에서 CD가 45~55 nm 안에 들어 노광 여유는 약 14.9%다.

노광 여유는 상의 모양에서 바로 나온다. 가장자리에서 상이 가파르게 변하면, Dose가 바뀌어 문턱선이 오르내려도 가장자리가 조금만 움직인다. 이 가파름을 재는 지표가 4장의 NILS다. 가장자리에서 \(\ln I\)의 기울기(ILS)에 공칭 폭 \(w\)를 곱한 값이고, Mack은 상의 쓸모를 판단하는 가장 좋은 단일 지표로 NILS를 꼽는다. 문턱 조건을 로그로 쓰면 \(\ln\text{Dose} + \ln I(x_e) = \ln E_{th}\)이므로, Dose가 \(\Delta\ln\text{Dose}\)만큼 바뀌면 가장자리는 \(\Delta x_e = \Delta\ln\text{Dose}/\text{ILS}\)만큼 움직인다. CD ±10%는 양쪽 가장자리가 각각 폭의 ±5%씩 움직이는 것이므로, 허용되는 Dose의 전체 폭은 \(2\times0.05\,w\times\text{ILS} = 0.1\,\text{NILS}\)다(유도). 백분율로 쓰면 다음과 같다.

NILS가 1 오를 때마다 노광 여유가 10%씩 는다는 이 관계는 Mack이 칼럼에서 이끌어 낸 것이다. 실제 레지스트는 대비가 유한하고 반응이 번지므로 같은 NILS에서 노광 여유가 더 작다. 248 nm, NA 0.6, σ 0.5에서 250 nm L/S를 찍은 예에서는 %EL = 8.9(NILS − 0.5)로 맞았고, 노광 여유 15%를 얻으려면 NILS가 2.2 이상이어야 했다. 시뮬레이터의 기준 조건은 NILS 1.50에 노광 여유 14.9%로 이상적인 관계를 그대로 따른다. 같은 NILS를 이 실제 레지스트 식에 넣으면 노광 여유는 약 8.9%로 떨어진다(계산). 노광 여유는 생각보다 작은 자원이다. 중요한 패턴의 노광 여유는 몇 %에 불과하고, 그래서 광원의 Dose 안정성이 중요하다는 것이 EUV 광원 개발자들의 설명이다. 그 논문은 50 kHz로 도는 EUV 광원의 Dose 오차를 0.5% 미만으로 보고했다.

초점이 어긋나면 상이 흐려진다

두 번째 손잡이는 높이다. 투영 렌즈는 마스크의 상을 공간의 한 면에 가장 선명하게 맺는다. 레지스트가 그 면에서 위나 아래로 벗어난 거리를 초점 어긋남(Defocus)이라 하고, 현장에서는 줄여서 Focus라고 부른다. Dose가 '빛을 얼마나 주느냐'라면 Focus는 '어느 높이에서 받느냐'다. 둘은 성격이 다르므로 따로 이해한 뒤 함께 평가해야 한다.

초점이 어긋나면 왜 흐려질까? 4장에서 본 대로 공간상은 회절광들의 간섭이다. 조밀한 선의 0차 광은 렌즈 축을 따라 내려오고, ±1차 광은 축과 각 \(\theta\)를 이루며 내려온다. 최적 초점면에서는 모든 광속이 같은 위상으로 만나 가장 선명한 무늬를 만든다. 레지스트가 그 면에서 \(\delta\)만큼 벗어나 있으면, 비스듬히 오는 광속은 축 방향 광속과 다른 길이의 길을 지나 위상이 어긋난다. Mack은 이 Defocus를 수렴하는 구면파의 곡률 오차로 보고 광로 차를 다음과 같이 적는다.

피치 \(p\)인 조밀 패턴의 1차 광은 \(\sin\theta = \lambda/p\) 방향으로 간다. 이것을 위 식에 넣으면 위상 오차는 약 \(\pi\delta\lambda/p^2\)이고, 같은 위상 오차를 허용한다면 견딜 수 있는 초점 범위는 \(p^2/\lambda\)에 비례한다. 피치를 절반으로 줄이면 초점 심도가 1/4이 된다는 뜻이다. 이 결과는 0차와 ±1차만 지나는 결맞음 조명에서 엄밀하다. 숫자로 보자. ArF 건식에서 피치 600 nm인 L/S가 100 nm 벗어나면 위상 차는 약 10°이지만, 피치 300 nm면 같은 100 nm에서 약 44°가 된다(근사하지 않은 식으로 계산).

그렇다면 얼마나 어긋나야 '못 쓸 만큼' 흐려질까? 광로 차가 λ/4가 되면 0차와 1차가 90° 어긋나 더 이상 간섭하지 못한다. 그래서 허용 광로 차를 \(k_2\lambda/4\)로 두고, 해상 한계의 패턴(1차 광이 렌즈 가장자리, \(\sin\theta=\text{NA}\))에 적용하면 Rayleigh의 초점 심도(Depth of focus, DOF) 식이 나온다.

해상도 \(k_1\lambda/\text{NA}\)는 NA에 반비례하지만 DOF는 NA의 제곱에 반비례한다. NA를 키워 작은 패턴을 얻는 대가로 초점 여유가 더 빨리 준다. 간단한 계산으로 확인해 보자. \(\lambda\) = 193 nm, \(k_1\) = 0.30, \(k_2\) = 0.50으로 고정하고 NA를 0.90에서 1.35로 키울 때 해상도는 2/3, DOF는 4/9로 준다(표 1). 다만 이 계산은 두 계수를 고정한 가정이고 실제 두 장비의 성능을 뜻하지 않는다. Mack은 \(k_1\), \(k_2\)를 '공정 의존 상수'라 부르지만 사실상 미지수이며 두 식은 경향을 말하는 식일 뿐이라고 경고한다. 같은 이유로 책마다 표기가 다르다. Stanford 강의 자료는 DOF를 ±λ/(2NA²)로 쓰고 \(k_2\) = 0.5를 넣는다. 전체 폭인지 ± 반폭인지 먼저 확인하고 숫자를 비교해야 한다.

표 1. 같은 계수를 가정한 NA 비교(계산). 해상도를 얻는 만큼 초점 여유를 더 빨리 잃는다는 경향을 보이기 위한 표다.

Rayleigh 식에는 두 가지 단서가 붙는다. 첫째, 이 식은 근축 근사다. Lin은 광로 차를 엄밀히 풀면 DOF가 개구각의 절반에 따라 달라지며, 근축 DOF가 NA 0.6과 0.8에서 10~20% 크게 나온다고 보였다. 둘째, 액침에서는 같은 각도의 빛이 레지스트에 들어가더라도 물속에서는 각이 작아 광로 차가 줄어든다. 그래서 같은 피치에서 액침의 DOF 이득은 적어도 물의 굴절률만큼이고, 가장 작은 피치에서는 약 2배까지 커진다.

초점이 어긋나면 상의 무엇이 나빠지는지 NILS로 보면 분명하다. 결맞음 조명의 작은 L/S에서 NILS는 \(\text{NILS}(\delta) = \text{NILS}_0\cos(\pi\delta\lambda/p^2)\)로 줄어든다. 가장자리의 밝기는 그대로인데 기울기가 줄어드는 것이다. 1절에서 본 대로 노광 여유는 NILS에 비례하므로, 초점이 어긋날수록 같은 Dose 흔들림이 더 큰 CD 변화를 만든다. Focus와 Dose가 따로 노는 변수가 아니라 묶여 있다는 뜻이고, Mack은 이것을 '초점이 어긋나면 공정이 Dose 오차에 더 민감해진다'고 표현한다.

예외도 있다. 0차와 1차 하나만 렌즈 축 양쪽에 같은 각도로 들어오면, 초점이 어긋나도 두 광속은 같은 광로를 지나 위상 차가 생기지 않는다. 이런 2광속 상은 3광속 상보다 초점 심도가 훨씬 크다. 4장의 사입사 조명(고리, Dipole)이 Binary 마스크로 이 상황을 흉내 내어 DOF를 얻는다. 아래 애니메이션에서 두 경우를 비교해 보자. 위쪽 지도는 가로가 웨이퍼 위 위치, 세로가 초점 어긋남이고, 색이 진할수록 밝다. 지도 위를 오르내리는 선이 레지스트가 놓인 높이다.

애니메이션에서 본 것처럼 초점이 가장 선명한 높이, 곧 최적 초점(Best focus)은 '원하는 성능이 가장 잘 나오는 초점'이다. 그런데 무엇을 원하느냐에 따라 그 높이가 다를 수 있다. 한 패턴의 CD가 목표와 같은 높이와, 여러 패턴의 허용 범위가 가장 넓은 높이는 같지 않을 수 있다. 렌즈에 비점수차가 있으면 세로선과 가로선의 최적 초점이 서로 반대 방향으로 옮겨 가는 일도 생긴다. 그래서 노광 조건을 정할 때는 선과 홀, 조밀한 패턴과 고립 패턴을 함께 보고, 어떤 기준으로 최적점을 정했는지 기록한다. 이렇게 여러 Focus와 Dose를 한꺼번에 시험하는 방법이 다음 절의 FEM이다.

FEM과 Bossung 곡선

Dose와 Focus가 서로 묶여 있다면 둘을 따로 하나씩 바꿔 보는 실험으로는 부족하다. 그래서 웨이퍼 한 장에 Shot마다 Focus와 Dose를 다르게 주어 찍는다. 이 시험을 FEM(Focus–exposure matrix)이라고 한다. 보통 Shot의 열을 따라 Focus를, 행을 따라 Dose를 조금씩 바꾼다(그림 3). 한 번의 코팅으로 만든 같은 막 위에서 비교하므로 코팅 두께나 베이크 이력 같은 다른 요인이 조건마다 섞이지 않는다는 장점이 있다. Mack은 이렇게 Focus와 Dose를 동시에 바꾸는 FEM을 공정 윈도를 구하는 기본 실험으로 소개한다.

FEM 결과를 읽는 첫 그림은 Dose마다 초점에 따른 CD를 그린 것이다. Perkin-Elmer의 현장 엔지니어 John Bossung의 이름을 따서 Bossung 곡선(Bossung plot)이라고 부른다. 같은 데이터를 거꾸로 초점마다 Dose에 따른 CD로 그리면 노광 여유 곡선이 되고, Focus–Dose 평면 위에 같은 CD를 잇는 등고선을 그릴 수도 있다. CD ±10%, 측벽 80°, 레지스트 손실 10% 같은 판정 기준의 등고선을 겹치면 모든 기준을 함께 만족하는 영역이 남는다. 이것이 다음 절의 공정 윈도다.

Bossung 곡선의 모양에는 정보가 있다. 조밀 L/S를 문턱 모델로 계산하면 낮은 Dose의 곡선은 초점에서 멀어질수록 CD가 커지고, 높은 Dose의 곡선은 작아진다. 그 사이에 초점이 바뀌어도 CD가 거의 그대로인 Dose가 있는데, 이것을 등초점 Dose(Isofocal dose)라 한다. 등초점 Dose에서는 곡선의 휨이 0에 가까워서, 비점수차처럼 초점을 옮기는 오차가 CD 차이로 드러나지 않는다. 선과 공간이 1:1인 조밀 패턴에서는 이 모델의 등초점 Dose가 Dose-to-size와 거의 같다. 1:1 무늬의 가장자리는 0차와 ±1차의 간섭항이 0이 되는 자리라서 초점 위상의 영향을 덜 받기 때문이다(원리에서 나온 해석). 고립 선은 다르다. 초점이 어긋나면 옆의 밝은 빛이 선 안으로 번져 들어와 모든 Dose에서 선이 가늘어진다.

실제 Bossung 곡선은 최적 초점을 중심으로 좌우가 다른 경우가 많다. 렌즈 수차, 레지스트 두께, EUV 마스크의 입체 효과 같은 것이 곡선을 기울인다. 이 비대칭 때문에 Mack은 DOF를 '± 얼마'로 말하던 시대는 끝났다고 썼다. FEM 데이터를 매끈한 곡선으로 맞출 때도 조심해야 한다. 다항식으로 맞추면 실제에 없는 굴곡이 생기거나 있는 거동을 놓칠 수 있어서, Mack과 Byers는 상과 문턱 모델에서 유도한 \(\text{CD} = \sum\sum a_{nm}(1-E_s/E)^n F^m\) 꼴을 제안했다. 모의 데이터에서 같은 6항으로 물리 기반 꼴은 1.47 nm, 다항식은 3.49 nm의 오차를 냈다.

아래 시뮬레이터는 기준 조건(ArF 액침, 고리 조명)의 FEM이다. 조밀 L/S(50 nm/100 nm)와 고립 선을 고를 수 있다. 고립 선은 같은 Dose에서 50 nm가 찍히도록 마스크 폭을 넓혀 두었다. 이렇게 패턴마다 마스크 폭을 고치는 일이 6장의 OPC다. 위 그래프가 Bossung 곡선, 아래 지도가 FEM이고, 지도 위의 사각형이 아래 칸에서 정한 노광 여유를 지키는 가장 긴 초점 범위다.

공정 윈도: 얼마나 흔들려도 되는가

FEM 지도에서 규격 안 칸들이 모인 영역을 공정 윈도(Process window)라고 한다. Mack은 공정 윈도를 공정이 가진 능력으로, 실제 Focus·Dose 오차의 분석을 공정에 대한 요구로 보고, 능력이 요구보다 크면 수율이 높다고 정리한다. 윈도의 모양 자체는 휘어 있어서 숫자 하나로 말하기 어렵다. 그래서 윈도 안에 직사각형을 넣는다. 직사각형의 세로 길이가 노광 여유, 가로 길이가 DOF다. 실제 오차가 계통적이면 직사각형, 무작위로 흩어지면 타원(3σ_E × 3σ_F)이 알맞다.

직사각형은 하나가 아니다. 세로로 길게 넣으면 노광 여유가 크고 DOF가 작으며, 가로로 길게 넣으면 반대다. 넣을 수 있는 가장 큰 직사각형들을 따라 노광 여유와 DOF를 이으면 둘의 맞바꿈을 보여 주는 곡선이 된다. 이것이 EL–DOF 곡선(Exposure latitude versus DOF curve)이다. Mack의 i-line 예에서는 최소 노광 여유 15%를 요구할 때 직사각형으로 구한 DOF가 0.85 µm, 타원으로 구한 DOF가 1.14 µm였다. 노광 여유를 0으로 두고 구한 '고정 노광 DOF'는 Dose가 전혀 흔들리지 않는다는 가정이라 최선의 경우만 말해 주는 지표다.

이 관점에서 보면 해상도와 DOF도 따로 정의할 수 없다. Mack은 DOF를 '정해진 노광 범위에서 선폭, 측벽 각, 레지스트 손실의 규격을 모두 지키는 초점 범위'로, 해상도를 '정해진 DOF로 찍을 수 있는 가장 작은 패턴'으로 정의하자고 제안했다. i-line NA 0.54, σ 0.5의 예에서 해상도는 DOF 요구가 없으면 0.33 µm, 1.0 µm DOF를 요구하면 0.38 µm, 1.5 µm DOF를 요구하면 0.43 µm였다. DOF 조건 없이 말한 해상도는 그 패턴을 양산할 수 있다는 뜻이 아니다.

여러 패턴의 공통 윈도

한 층에는 여러 패턴이 함께 있다. 조밀한 선과 고립된 선, 선과 홀이 같은 Dose, 같은 Focus로 한꺼번에 찍힌다. 그래서 실제로 쓸 수 있는 영역은 각 패턴의 윈도가 모두 겹치는 부분, 곧 공통 공정 윈도(Overlapping process window)다. 학습용 예를 하나 보자. 표 2는 패턴 A의 FEM에서 CD·형상·결함 기준을 모두 만족했는지 표시한 가상의 결과다.

표 2. 패턴 A의 FEM 판정(학습용 가상 결과). 진한 칸은 패턴 B도 기준을 만족한 유일한 조합이다.

Focus 0 nm, Dose 20 mJ/cm²에서 A는 기준을 만족하지만, Focus +40 nm에서는 세 Dose 모두 기준 미달이다. 중심 조건이 좋아도 Focus가 어느 쪽으로 움직이느냐에 따라 여유가 다르다. 여기에 패턴 B가 Focus 0 nm, Dose 20 mJ/cm²에서만 기준을 만족했다고 하자. 그러면 잰 조합 가운데 두 패턴이 함께 기준을 만족하는 점은 하나뿐이다. 이 상태로는 공통 윈도가 얼마나 넓은지 알 수 없으니 그 주변을 더 촘촘히 재어 경계를 찾고, 실제 Focus·Dose 변동이 그 안에 드는지 비교해야 한다.

공정 조건의 가운데는 표의 한가운데가 아니라 경계까지의 여유가 가장 큰 곳에 둔다. 여기에 결함 증가와 레지스트 두께 손실도 함께 본다. 양산 중 결과가 변했을 때도 한 점의 CD만 맞추는 보정과 윈도 자체를 되찾는 조치는 구분해야 한다. 공정 윈도는 평가에 쓴 패턴, 막, 레지스트, 장비 조건에서 얻은 결과라서, 막 두께나 열 이력, 웨이퍼 높이가 달라지면 같은 Dose·Focus에서도 결과가 달라질 수 있다. 한 패턴의 CD를 고치는 조정이 다른 패턴의 여유를 줄일 수도 있다. 앞 절의 시뮬레이터에서 「둘 다」를 골랐을 때 공통 윈도가 고립 선 하나의 윈도로 줄어든 것이 바로 이 상황이다.

NA를 키우면 DOF가 늘까 줄까

2절에서 본 대로 NA를 키우면 해상도는 좋아지고 DOF는 줄어든다. 그러면 주어진 패턴을 가장 넉넉하게 찍는 NA가 따로 있을 것이다. NA가 너무 작으면 패턴이 해상되지 않아 상의 기울기가 모자라고, 너무 크면 초점 여유가 모자란다. Mack은 i-line 0.5 µm L/S에서 DOF를 가장 크게 하는 NA가 0.48이라는 예를 들었고, 1 µm의 DOF(노광 여유 10%)를 요구하면 NA 0.59에서 해상도가 가장 좋고 그보다 큰 NA에서는 오히려 나빠진다는 결과도 보였다. 조명도 같은 맞바꿈에 들어간다. 사입사 조명은 특정 피치의 조밀 패턴을 2광속 상으로 만들어 DOF를 키운다. 아래 도전 과제에서 직접 찾아보자. 판정은 CD ±10% 규격에서 노광 여유 5%를 지키는 가장 긴 초점 범위다.

레지스트 속의 정상파와 Swing curve

지금까지는 레지스트 윗면에 닿는 상만 보았다. 그런데 빛은 레지스트를 지나 바닥의 기판에서 반사되어 다시 올라온다. 내려가는 파와 올라오는 파가 겹치면 깊이 방향으로 밝고 어두운 층이 번갈아 생기는데, 이것을 정상파(Standing wave)라 한다. 실제로는 윗면과 바닥 사이를 여러 번 오가는 반사가 모두 더해진다. Mack은 이 합을 닫힌 식으로 정리하고, 정상파의 주기가 \(\lambda/(2n)\)임을 보였다. 193 nm에서 레지스트의 굴절률을 1.7로 두면 주기는 약 57 nm다(계산). 레지스트가 수백 nm 두께라면 그 안에 밝고 어두운 층이 여러 겹 들어간다.

정상파의 세기는 경계면에서 얼마나 반사되느냐에 달려 있다. 두 매질의 경계에서 반사 계수는 \(\rho = (n_i - n_j)/(n_i + n_j)\)이고, 흡수가 있으면 굴절률에 허수부를 넣어 복소수로 계산한다. Mack 등이 쓴 193 nm 값(레지스트 1.7 + 0.01536i, Si 0.8831 + 2.778i)을 넣으면 레지스트에서 Si로 가는 경계의 반사율은 약 57%, 공기에서 레지스트로 들어가는 윗면의 반사율은 약 6.7%다(계산). 아무 처리 없이 Si 위에 바로 레지스트를 바르면 들어간 빛의 절반 넘게가 바닥에서 되돌아온다는 뜻이다.

정상파는 깊이 방향의 무늬만 만드는 것이 아니다. 레지스트 두께가 바뀌면 여러 번 반사된 빛들 사이의 위상 관계가 바뀌어, 막 전체가 흡수하는 에너지가 두께에 따라 오르내린다. 그 결과 Dose-to-clear, 반사율, 그리고 같은 Dose에서의 CD가 두께에 따라 사인꼴로 흔들린다. 이것이 Swing curve(Swing curve)이고 주기는 정상파와 같은 \(\lambda/(2n)\)이다. 반사율이 높은 두께에서는 레지스트에 들어가는 빛이 줄어 Dose-to-clear가 커지고, 같은 Dose로 찍으면 선이 굵게 나온다. Mack이 든 i-line 0.5 µm 선의 예에서는 작은 두께 변화에도 CD가 보통의 허용치 10%보다 크게 변했다. 반사율은 다음 식으로 계산한다.

식이 대책을 알려 준다. Swing은 \(\rho_{12}\rho_{23}\)이 만드는 간섭이므로 둘 중 하나만 0에 가깝게 만들어도 크게 준다. 바닥 반사 \(\rho_{23}\)을 줄이는 막이 BARC(Bottom anti-reflective coating), 윗면 반사 \(\rho_{12}\)를 줄이는 막이 TARC(Top anti-reflective coating)이고, 레지스트의 흡수를 키우는 염료도 같은 효과를 낸다. BARC에는 두께, 굴절률의 실수부, 허수부라는 세 손잡이가 있다. 흡수가 있는 막이라 두 가지만 정하면 해가 한 무리로 나오고, 193 nm 예에서 첫째 반사 최소는 두께 약 10~60 nm, 둘째 최소는 약 50~130 nm에 걸친다. 65 nm 이하 공정에서는 반사율 0.1% 미만이 자주 요구된다. 레지스트를 바른 뒤에는 반사율을 직접 잴 수 없으므로, 각 막의 두께와 굴절률을 재서 계산으로 확인한다. BARC와 TARC를 바르는 공정은 3장에서 다룬다.

화학 증폭형 레지스트에서는 PEB가 정상파를 일부 지운다. 노광으로 생긴 산이 PEB 동안 퍼지면서 깊이 방향의 밝고 어두운 층이 섞이기 때문이다. Mack의 모사에서는 Dose-to-clear에 대한 정상파 효과를 없애는 데 확산 길이 약 35 nm가 필요했다. 확산이 너무 크면 이번에는 가로 방향의 상까지 흐려져 초점·노광 여유를 잃으므로 균형점이 있다. 그러나 막 전체가 흡수하는 에너지가 두께에 따라 오르내리는 Swing 자체는 확산으로 없어지지 않는다(원리에서 나온 해석). 그래서 반사를 줄이는 막이 따로 필요하다. NA가 커지면 한 가지가 더 붙는다. 비스듬히 들어온 빛은 막 속을 \(2D/\cos\theta\)만큼 지나 Swing의 위상이 각도마다 달라진다. NA 0.6에서는 각이 약 37°까지 커져 0차와 1차가 Swing의 반대쪽 끝에 놓일 수 있고, 두께에 따라 공정 윈도와 조밀–고립 선폭 차가 달라진다. 반사가 없는 기판에서는 이 효과도 사라진다.

주변 패턴이 바꾸는 CD

마스크에 같은 폭으로 그린 선이라도 이웃에 무엇이 있느냐에 따라 웨이퍼에 다른 폭으로 찍힌다. 이웃 패턴 때문에 선폭이나 모양이 바뀌는 현상을 근접 효과(Proximity effect)라고 한다. 가장 단순한 예가 조밀한 선과 혼자 떨어진 선의 폭 차이, 곧 조밀–고립 선폭 차(Iso–dense bias)다. Mack은 Positive 레지스트에서 고립 선이 조밀 선보다 굵게 찍힌다고 설명하고, 이 차이가 대부분 광학에서 오며 k₁이 1보다 크면 작지만 0.6 쪽으로 갈수록 커진다고 했다. NA와 σ를 바꾸면 차이가 달라지지만, 한 크기에서 0으로 맞춘 차이가 다른 크기에서도 0인 것은 아니다. 조명의 결맞음도 들어간다. σ가 낮을수록 조밀–고립 차가 크고, 예에서는 σ가 0.35를 넘으면서 줄기 시작했다.

원인은 회절에 있다. 같은 폭으로 늘어선 L/S는 띄엄띄엄 떨어진 회절 차수를 만들고, 렌즈는 그중 몇 개만 받아 상을 만든다. 혼자 떨어진 선이나 공간은 차수가 띄엄띄엄 끊기지 않고 연속으로 퍼진 회절 무늬를 만든다. 렌즈가 받아들이는 범위는 같아도 무엇을 잘라 내느냐가 다르니 상의 모양과 가장자리 위치가 달라진다(그림 5). 피치를 조금씩 넓혀 가면 렌즈를 지나는 차수의 수와 위치가 계속 바뀌므로, 마스크 폭을 고정한 채 피치만 바꿨을 때의 CD는 고르게 변하지 않고 오르내린다. 이렇게 피치에 따라 그린 CD를 피치별 CD(Through-pitch CD)라고 부른다.

그러면 실제로 얼마나 다를까? 먼저 답을 골라 보자.

계산의 근거: 공간상은 이 책의 계산 엔진(스칼라 Abbe 적분)으로 구했고, 조밀–고립 선폭 차의 방향과 σ 의존성은 Mack의 설명, Forbidden pitch의 원리는 사입사 조명에 대한 Mack의 칼럼과 비교했다.

사입사 조명은 이 그림을 한 번 더 비튼다. 고리나 Dipole 조명은 특정 피치의 조밀 패턴에서 0차와 1차 하나를 동공 중심 양쪽에 대칭으로 놓아 2광속 상을 만든다. 그 피치에서는 DOF가 크게 늘지만, 조명 모양은 한 피치에만 최적이다. Mack은 최적 피치의 정확히 두 배인 피치에서 회절 차수 하나가 동공 한가운데에 놓여 상이 가장 나빠진다고 설명했다. 이처럼 조밀 패턴보다도, 심지어 고립 패턴보다도 DOF가 작아지는 피치를 Forbidden pitch(Forbidden pitch)라고 부른다. 위 시뮬레이터의 Dipole은 140 nm 피치에 맞춘 조명이라 그 두 배 근처인 300~380 nm에서 골짜기가 생긴다(계산).

대책은 두 갈래다. 하나는 마스크를 고치는 것이다. 피치마다 마스크 폭을 바꿔 같은 Dose에서 같은 CD가 찍히게 하는 OPC, 그리고 고립 패턴 옆에 찍히지 않을 만큼 가는 보조 선을 넣어 조밀 패턴처럼 행동하게 하는 SRAF(Sub-resolution assist feature)가 있다. Mack은 SRAF의 주목적이 CD보다 초점 응답, 곧 Bossung 곡선의 모양을 조밀 패턴과 맞추는 데 있다고 강조했다. 그 칼럼의 예에서 50 nm 보조 막대가 겹친 DOF를 0.3 µm에서 0.4 µm로 늘렸다. 보조 선은 공정 윈도 전체에서 찍히면 안 된다. 다른 하나는 조명과 마스크를 함께 고르는 것이다. 이것은 6장의 OPC와 SRAF, 그리고 Source–mask optimization에서 이어진다. 이 문맥의 SMO는 장비 Overlay를 말하는 Single machine overlay와 다른 말이다.

이 절의 결과를 앞 절과 이어 보면, 패턴마다 Bossung 곡선의 모양이 다르므로 최적 초점도, Dose-to-size도, 윈도의 모양도 다르다. 4절의 공통 윈도가 한 패턴의 윈도보다 좁아지는 이유가 여기에 있다.

장비가 초점을 지키는 법: Leveling과 초점 예산

지금까지 본 숫자를 장비의 눈으로 다시 보자. ArF 액침의 NA 1.35에서 Rayleigh DOF는 \(k_2\) = 1로 잡아도 약 106 nm다(계산). 웨이퍼는 지름 300 mm이고, 그 위에 쌓인 막과 패턴은 위치마다 높이가 다르다. 그 모든 자리의 레지스트를 노광하는 순간 수십 nm 안의 초점에 두어야 한다. 그래서 Scanner는 Shot마다 웨이퍼 표면의 높이와 기울기를 재고, 노광하는 동안 Wafer stage를 위아래로 움직이고 기울여 레지스트 면을 상의 면에 맞춘다. 이 일을 Leveling(Leveling, focus and tilt control)이라고 한다. Alignment가 웨이퍼의 가로 위치를 맞춘다면 Leveling은 높이를 맞춘다.

높이는 Level sensor(Level sensor)로 잰다. Philips가 출원해 지금은 ASML이 권리를 가진 1991년 특허가 원리를 잘 보여 준다. NA가 큰 렌즈는 DOF가 작고 웨이퍼는 기울어지거나 고르지 않으므로 Field마다 초점을 재야 한다. 빛을 웨이퍼에 아주 비스듬히(특허의 예는 법선에서 80° 정도) 비추고, 반사된 빛의 위치로 높이를 읽는다. 감도를 높이려고 투사 쪽과 검출 쪽에 격자를 두고, 이런 검출기를 여러 개 놓아 기울기도 함께 잰다. 특허가 특히 강조하는 것은 빛의 파장이다. 한 파장의 레이저로 재면 웨이퍼 위 막 적층 속의 박막 간섭이 실제 높이와 관계없는 가짜 초점 신호를 만든다. 그래서 할로겐 램프나 여러 LED처럼 넓은 파장대의 빛을 써서 간섭을 평균해 없앤다. 앞 절의 Swing curve를 만든 바로 그 간섭이 높이 측정도 속일 수 있다는 뜻이다.

오늘날의 장비도 같은 고민을 다른 방법으로 푼다. ASML은 NXT:2050i의 UVLS-2 Level sensor가 공정 막 적층의 변화에 덜 민감하도록 자외선을 쓰고, Edge의 정확도를 위해 측정 밀도를 높였다고 설명한다. Nikon은 NSR-S636E가 웨이퍼 지름 전체를 한 번에 훑는 Straight Line Autofocus와 노광 전 여러 점 측정을 쓴다고 소개한다. 측정할 시간도 문제다. ASML의 TWINSCAN은 Wafer table이 두 개라서, 한 Table의 웨이퍼를 노광하는 동안 다른 Table에 웨이퍼를 올리고 정렬하며 높이 지도를 만든 뒤 두 Table을 바꾼다. 높이를 재는 시간이 노광 시간 뒤로 숨는 셈이다. Scanner의 구조는 7장에서 자세히 본다.

초점 예산: 요구와 능력

Leveling이 완벽해도 초점 오차는 남는다. 렌즈가 데워지고, 마스크가 휘고, 웨이퍼와 Chuck이 완전히 평평하지 않고, 최적 초점을 정하는 실험에도 오차가 있다. 이런 오차를 모두 모은 것이 초점 예산(Focus budget)이다. Mack은 초점에 대한 요구(공정에 내재한 초점 오차의 합, BIFE)와 능력(DOF)을 나누고, 가상의 0.5 µm 공정과 4배 Stepper로 예산 표를 만들었다(표 3). 서로 관계없이 흔들리는 무작위 항은 제곱해 더한 뒤 제곱근을 취하고(RSS), 늘 같은 방향으로 작용하는 계통 항은 그대로 더한다. 무작위 항의 RSS는 0.74 µm, 여기에 계통 항 1.1 µm를 더해 BIFE는 1.8 µm였다. 가장 큰 항은 웨이퍼 평탄도, 최적 초점 결정, 단차, 상면 만곡과 비점수차였다.

표 3. 가상의 0.5 µm 공정·4배 Stepper의 초점 예산(전체 폭). Mack(1993)의 표 1을 옮겼다. 마스크 항을 16으로 나눈 것은 4배 축소 렌즈의 세로 배율이 가로 배율의 제곱이기 때문으로 읽힌다(해석). 무작위 항을 직접 RSS로 계산하면 0.739 µm로 표의 값과 맞는다(계산).

1993년의 숫자라서 지금 공정의 크기와는 다르다. 현재 웨이퍼 평탄도 사양 같은 숫자는 공개 자료에서 찾기 어렵다. 그래도 이 표가 말하는 구조는 그대로다. Mack은 웨이퍼 비평탄도, 단차, 최적 초점을 정하는 능력 같은 오차가 DOF가 줄어드는 만큼 줄지 않는다고 지적했다. DOF는 NA의 제곱에 반비례해 빠르게 줄었지만 웨이퍼와 막은 그만큼 평평해지지 않았다. 그래서 Leveling과 예산 관리가 점점 더 중요해졌다. 아래에서 표의 막대를 눌러 각 항목이 무엇이고 지금 장비가 그것을 어떻게 다루는지 보자.

항목 설명의 근거: 표의 숫자와 RSS·계통 합의 규칙은 Mack의 초점 리뷰, Level sensor와 Field별 측정은 특허와 ASML·Nikon 자료, 렌즈 가열 보상은 ASML과 Nikon의 설명, Chuck의 Focus spot은 Canon의 선택 사양과 Wafer table 마모 연구, 최적 초점 결정과 Focus 계측은 FEM과 회절 기반 계측, 상면 만곡·비점수차는 H-V bias 칼럼, 단차와 레지스트 두께는 Swing 칼럼을 따랐다.

초점을 흔드는 장비 쪽 원인들

예산 표의 몇 항목은 장비 안에서 생긴다. 첫째는 렌즈의 열이다. ASML은 강한 빛 펄스가 되풀이되며 광학계가 데워져 밀리켈빈, 나노미터 단위의 변형이 생기고, 수천 개의 구동기로 렌즈와 거울의 위치를 고쳐 이를 보상한다고 설명한다. Nikon도 렌즈 재료의 열 흡수를 줄이고 열 수차를 제어해 CD 균일도를 높인다고 소개한다. 보상 모델이 맞지 않으면 Lot 안에서 웨이퍼 순서에 따라 초점이 흘러가는 모습으로 나타난다.

둘째는 광원의 파장이다. KrF·ArF 투영 렌즈는 주로 석영 한 가지로 만들어 색수차를 없앨 수 없으므로, 파장이 조금 바뀌면 초점면이 파장에 비례해 옮겨 간다. 측정한 KrF NA 0.6 렌즈에서 그 기울기는 0.225 µm/pm이었고, 레이저의 반치폭이 1.2 pm보다 넓으면 노광 여유가 크게 줄었다. 레이저 대역폭 안의 여러 파장이 각각 다른 높이에 상을 맺으니, 레지스트는 여러 초점의 상을 겹쳐 받는다. 이처럼 상이 여러 초점에 걸쳐 평균되는 것을 초점 평균화(Focus averaging, Focus drilling)라 한다. Mack은 대역폭과 색수차 말고도 z 방향 Stage 진동과 Scan 중 웨이퍼 기울기가 같은 효과를 낸다고 정리하고, 2차 근사에서는 평균화된 상이 (평균 초점 오차)² + (초점 분산)만큼 나빠져 늘 손해라고 보였다. 광원과 Stage는 7장에서 다시 만난다.

그러면 초점은 어떻게 잴까? 가장 직접적인 방법은 FEM으로 최적 초점을 다시 찾는 것이지만 시간이 든다. 그래서 초점에 민감하게 만든 계측 타깃을 쓴다. ASML은 회절 기반 계측 장비가 타깃에서 Overlay와 함께 Focus를 감시하고, Track에 붙어 노광 장비로 보정값을 되먹인다고 설명한다. 한 연구는 측벽이 비대칭인 패턴의 +1차와 −1차 회절 세기 차이로 Focus를 재어 웨이퍼 가장자리의 Focus 잔차를 분리했다. 장비가 재고 버리던 Leveling 데이터 자체도 좋은 자료다. 높이 지도와 초점 잔차를 내려받아 웨이퍼 가장자리, Chuck의 변화, 초점 잔차와 Overlay의 상관을 감시한 보고가 있다. 계측 전반은 10장에서 다룬다.