제거의 원리: Preston과 접촉

화학과 기계의 협력

CMP의 이름에는 두 단어가 들어 있다. Chemical과 Mechanical이다. 1장에서 웨이퍼를 뒤집어 패드에 누르고 슬러리를 흘리며 돌리는 장면을 보았다. 이 장은 그 접촉면 안쪽으로 들어간다. 마이크로미터 크기의 패드 돌기와 수십 나노미터 크기의 연마 입자가 일하는 곳이다. 먼저 가장 기본적인 질문부터 던져 보자. 막을 깎아 내는 것은 화학일까, 기계일까?

답은 '둘 다'이고, 더 정확히는 '둘이 따로 일하지 않는다'이다. 슬러리의 화학 성분은 막의 표면을 산화하거나, 물과 반응시켜 수화하거나, 금속 이온을 붙잡아 녹이거나, 반대로 얇은 보호막을 씌운다. 그렇게 바뀐 표면층을 패드 돌기와 연마 입자가 문질러 걷어 내면 새 표면이 드러나고, 새 표면은 다시 반응한다. 화학 반응이 먼저 다 끝난 뒤 기계가 깎는 두 단계 공정이 아니라, 반응·접촉·마찰·부산물 배출·새 표면 노출이 접촉면에서 쉬지 않고 되풀이되는 것이다. 이렇게 마찰과 화학 반응이 맞물려 일어나는 과정을 마찰화학 과정(Tribochemical process)이라 부른다. Stanford 강의 자료에 실린 Loke의 정리도 같은 그림이다. 슬러리 화학이 얇은 산화층을 만들고, 패드 압력 아래의 미세한 입자가 그 층을 걷어 낸다. 기계 쪽이 지나치면 긁힘과 불균일이 생기고, 화학 쪽이 지나치면 과연마 때 표면 높낮이가 심해진다.

막마다 다른 '반응층'

산화막에서는 물이 일을 한다. Mariscal의 학위논문이 정리한 Cook의 모형에 따르면 SiO₂ 표면은 물과 반응해 Si–OH로 덮이고, 더 나아가 Si(OH)₄ 쪽으로 녹아 나가는데, 이렇게 바뀐 층은 원래의 SiO₂보다 약해서 연마 입자가 쉽게 걷어 낸다. 수화는 pH가 정한다. pH 7보다 높으면 표면이 완전히 수화되고, pH 11 이상에서는 표면의 수산기가 모두 해리된다. 실제 층간 절연막(ILD) 슬러리의 pH는 대개 10.5~11.3이고, 이렇게 생기는 수화층(Hydrated layer)은 10~200 Å 두께일 수 있다. 거꾸로, 화학만으로는 산화막이 거의 깎이지 않는다. Maury 등은 TEOS 산화막을 슬러리에 담가 두기만 했을 때 제거가 무시할 만큼 작았다고 보고했다.

금속에서는 산화제가 일을 한다. 금속 CMP에서는 산화제가 얇은 보호막(산화막)을 만들고, 패드 돌기와 입자가 그 막을 걷어 내며, 이 일이 되풀이되면서 화학과 기계의 균형이 생긴다. IBM의 Kaufman 등은 W CMP를 이렇게 설명했다. 기계 작용이 W 위의 보호막을 계속 깨뜨리고 화학 작용이 W를 녹여 내는데, W를 녹이는 반응과 WO₃ 보호막을 다시 만드는 반응이 서로 경쟁한다. Headley는 이 '보호막이 생기고 → 깎이고 → 다시 생기는' 순환을 Kaufman 이론이라 부른다. 왜 굳이 보호막을 만들었다가 깎을까? 같은 물질이라도 산화되면 훨씬 무르기 때문이다. W의 경도와 탄성률은 22.5 GPa와 450 GPa인데 WO₃는 7.5 GPa와 125 GPa다. 산화제가 단단한 W를 무른 WO₃로 바꿔 놓으면 입자가 그것을 걷어 낸다. 질화막(Si₃N₄)은 실리카나 세리아 입자보다 단단해서, 먼저 산화·가수분해되어 SiO₂와 비슷한 무른 상태가 되어야 깎인다. Sampurno는 W나 Ta처럼 단단한 막에서는 기계 작용이, Cu·Al·고분자처럼 무른 막에서는 화학 작용이 더 중요하다는 정리를 인용한다.

화학이 얼마나 큰 손잡이인지는 숫자로 보면 분명하다. IBM이 1985년에 출원한 CMP 특허의 실험 표를 보자. 알루미나 입자를 순수한 물에 섞어 쓰면 Al-Cu 합금과 스퍼터 SiO₂가 똑같이 분당 30 nm씩 깎였다. 같은 입자에 질산을 넣어 pH를 2.2로 맞추자 Al-Cu는 분당 107 nm로 빨라지고 SiO₂는 8 nm로 느려져 두 막의 제거 속도 비가 13이 되었다. Cabot의 Cu 슬러리 특허에서는 알루미나 5%에 과산화수소 7%만 넣었을 때 Cu가 분당 21.7 nm 깎였는데, 여기에 옥살산 암모늄 0.5%를 더하자 278 nm로 뛰었다. 패드도, 입자도, 누르는 힘도 같은데 화학 하나로 제거 속도가 열 배 넘게 바뀐 것이다. 슬러리 성분이 하는 일은 3장에서 자세히 본다.

두 단계 모델: 느린 쪽이 속도를 정한다

화학과 기계가 차례로 일한다면 제거 속도는 어떻게 정해질까? Arizona 대학 연구진은 표면의 한 자리가 반응(화학)과 제거(기계)라는 두 단계를 차례로 거친다고 보고 다음과 같은 두 단계 모델(Two-step removal model)을 쓴다.

식의 뼈대는 간단한 셈에서 나온다. 표면 자리 가운데 반응을 마친 자리의 비율을 \(\theta\)라 하자. 반응하지 않은 자리는 \(k_1\)의 빠르기로 반응하고, 반응한 자리는 \(k_2\)의 빠르기로 깎여 다시 반응 전 상태로 돌아간다. 들어오고 나가는 흐름이 같아지는 정상 상태에서는 \(k_1(1-\theta) = k_2\theta\)이므로 \(\theta = k_1/(k_1+k_2)\)이고, 제거 속도는 \(k_2\theta = k_1k_2/(k_1+k_2)\)가 된다(원리에서 나온 계산). 두 저항을 직렬로 이은 회로처럼, 둘 중 느린 쪽이 전체를 붙잡는다. \(k_1 \ll k_2\)이면 제거 속도는 \(k_1\)에 묶인다. 아무리 세게 문질러도 반응이 따라오지 못하는 반응 제한(Chemically limited)이다. \(k_2 \ll k_1\)이면 제거 속도는 \(k_2 \propto \mu_k pV\)를 따른다. 반응층은 늘 준비되어 있고 문지르는 만큼 깎이는 기계 제한(Mechanically limited)이다. Mariscal은 \(k_1/k_2 < 1\)이면 반응 제한, 1보다 크면 기계 제한으로 읽는다.

기계 제한에서 제거 속도가 압력 × 속도에 비례한다는 것, 바로 다음 절의 Preston 식이 이 극한이다. 실제 공정이 어느 쪽인지는 막마다 다르다. STI CMP를 이 모델로 분석한 결과 SiO₂는 기계 제한, Si₃N₄는 강한 반응 제한으로 나왔다. 같은 패드, 같은 슬러리 아래에서도 막에 따라 '어느 손잡이가 듣는지'가 다르다는 뜻이다. 아래 애니메이션에서 두 빠르기를 직접 바꿔 보자.

③에서 본 것이 이 장 전체의 복선이다. 기계 작용을 두 배로 늘려도 제거 속도가 두 배가 되려면 화학이 충분히 빨라야 한다. 식각 책 5장에서 본 '라디칼 제한과 이온 제한'(ETCH 책의 덮임률 모델)과 같은 꼴이라는 점도 눈여겨보자. 표면을 바꾸는 화학 단계와 그것을 걷어 내는 물리 단계가 이어지면, 어느 공정이든 같은 수학이 나온다(원리에서 나온 해석). 온도는 \(k_1\)을 통해 이 균형을 움직인다. 이 이야기는 6절에서 다시 만난다.

Preston 식과 그 한계

1927년 Preston은 유리를 연마하며 두께가 줄어드는 빠르기를 이렇게 적었다. 단위 면적에 걸리는 하중 \(N/A\)과, 패드에 닿은 채 미끄러지는 거리의 증가 속도 \(ds/dt\)에 비례한다. 하중을 면적으로 나눈 것은 압력 \(P\), 미끄러진 거리의 증가 속도는 상대 속도 \(V\)이므로 식은 아주 짧아진다. 이것이 Preston 식(Preston equation)이고, 비례 상수를 Preston 계수(Preston coefficient, Kp)라 한다.

식의 직관은 사포와 같다. 두 배로 누르면 입자가 두 배로 파고들고, 두 배로 빨리 문지르면 같은 시간에 두 배 먼 거리를 긁는다. METAL 책 5장에서는 이 식으로 Cu Overburden을 걷어 내는 시간을 계산해 보았다(METAL 책의 Preston 식). 여기서는 한 걸음 더 들어가, 식이 무엇을 숨기고 있는지와 실제 데이터가 어디서 이 직선을 벗어나는지 본다.

숨기고 있는 것은 \(K_p\) 안에 다 들어 있다. Sampurno는 \(K_p\)가 슬러리와 패드의 효과를 모두 담는다고 쓰고, MIT의 White 등은 같은 식을 하중으로 \(R = -K_pF_NV\)라 쓰면서 \(K_p\)를 여러 효과를 뭉친 맞춤 계수라 부른다. Preston 식은 원래 기계적 유리 연마에서 나온 식이라 화학을 직접 다루지 않는다. 연마 입자의 경도와 크기가 \(K_p\)를 어떻게 바꾸는지도 분명하지 않다. 그래서 Preston 식은 '한 조건 근처에서 압력과 속도를 조금 바꿨을 때 어떻게 될까'를 어림하는 데 쓰고, \(K_p\)는 측정해서 정한다. 1절의 두 단계 모델에 비추어 보면 Preston 식은 기계 제한일 때의 모습이다.

실제 데이터: 직선이지만 원점을 지나지 않는다

MIT와 Lucent의 Maury 등은 PETEOS 산화막을 IPEC/Planar 372 장비에서 Klebosol PL1501 슬러리로 연마하며 압력과 속도를 넓게 바꿨다. 압력은 0.1 psi, 테이블 속도는 10 rpm까지 낮춰 보았다. 데이터를 원점을 지나는 직선(순수한 Preston 식)과 절편이 있는 직선 두 가지로 맞춘 결과가 표 1이다.

두 패드 모두 절편이 있는 직선이 더 잘 맞고, 특히 IC1000/Suba IV에서는 R²가 0.618에서 0.952로 크게 좋아졌다. 이 절편 \(R_0\)는 PETEOS에서 보통 400~1000 Å/min이다. Maury 등은 두 영역을 구분했다. P·V가 약 50 psi·m/min보다 작으면 가파른 기울기로 원점을 지나는 Preston 직선이 맞고, 그보다 크면 약 500 Å/min의 절편을 가진 완만한 직선이 맞는다. 원인으로는 P·V가 클 때 큰 힘과 빠른 회전이 슬러리를 웨이퍼 밑에서 밀어내고 원심력으로 잃는 양이 늘어 '연마 효율'이 떨어진다는 설명을 내놓았다. 앞에서 본 것처럼 슬러리에 담가만 둔 TEOS는 거의 깎이지 않았으므로 \(R_0\)가 정지 식각 때문은 아니다. Boning 등도 실용 범위의 데이터를 \(\mathrm{RR} = R_0 + KPV\)로 맞추는 편이 낫고 P·V가 아주 낮은 곳에서는 다른 거동이 나타날 수 있다고 정리했다.

절편이 있다는 것은 압력을 두 배로 올려도 제거 속도가 두 배가 되지 않는다는 뜻이다. IC1400의 식으로 계산하면 4 psi·1 m/s(P·V = 240 psi·m/min)에서 876 Å/min이던 것이 8 psi에서는 1,322 Å/min, 곧 1.51배다(계산). 속도도 마찬가지다. MIT의 Nishimoto 등이 Strasbaugh 6EC 장비에서 테이블 속도를 25 rpm에서 50 rpm으로 두 배 올렸을 때 평균 제거 속도는 845 Å/min에서 1,037 Å/min으로 1.23배 느는 데 그쳤고, 슬러리 유량을 150 ml/min에서 75 ml/min으로 반으로 줄이자 845 Å/min이 750 Å/min이 되었다(논문의 표를 다시 맞춰 읽은 값). 슬러리 유량은 Preston 식에 없는 변수인데도 제거 속도를 바꾼다.

비Preston 거동의 여러 얼굴

제거 속도가 P·V에 정비례하지 않거나, P와 V가 0인데도 0이 아닌 제거가 남는 경우를 묶어 비Preston 거동(Non-Prestonian behavior)이라 부른다. 보고된 꼴은 여러 가지다. Tseng과 Wang은 연마 입자를 수직 응력과 전단 응력을 함께 받는 압입자로 보고 \(\mathrm{RR} \propto P^{5/6}V^{1/2}\)를 얻었고, 열산화막 데이터가 이와 맞는다고 했다. Sampurno의 말로는 이 모델에서 제거 속도가 속도보다 압력에 두 배 가까이 민감하다. 무른 패드에서는 \(P^{2/3}\)이 나온다는 Shi와 Zhao의 모델도 있다. 단단한 입자를 무른 패드에 더 세게 누르면 접촉 압력이 아니라 접촉 면적이 늘기 때문이라는 설명이다(Sampurno의 정리). Luo 등은 화학 용해를 더해 \(\mathrm{RR} = K_pPV + BV + R_c\)로 쓴다. Luo와 Dornfeld의 고체 접촉 모델에서는 압력에 대한 비선형성이 입자 크기 분포와 패드의 탄성 변형에서 나온다.

현장에서 일부러 쓰는 비Preston 거동도 있다. Boning 등의 정리에 따르면 세리아 슬러리에 계면활성제를 2~5 wt% 넣으면 어떤 압력 아래에서는 거의 깎이지 않는 문턱 압력(Threshold pressure)이 생기고, 이것이 Dishing 없이 스스로 멈추는 SiO₂ 연마에 쓰였다. 연마 입자 없이 화학과 패드만으로 Cu를 깎는 방식에서도 적당한 하중에서 제거 속도가 급히 떨어지는 문턱과 두 직선 영역이 나타났는데, Dishing·Erosion과 긁힘은 줄지만 Field의 Cu를 완전히 걷어 내기는 어려웠다. 패턴 위에서는 높은 곳이 큰 압력, 낮은 곳이 작은 압력을 받으므로 문턱 압력은 '높은 곳만 깎는' 성질로 이어진다. 이 이야기는 5장에서 다룬다.

근거: Preston 식, 절편이 있는 맞춤식과 두 영역, 50 psi·m/min의 꺾임, P^5/6V^1/2, 문턱 압력의 존재, psi 환산.

상대 속도의 기하: 두 회전이 만드는 미끄럼

Preston 식의 \(V\)는 웨이퍼 위 한 점이 패드 위를 미끄러지는 빠르기, 곧 상대 속도(Relative velocity)다. 그런데 CMP 장비에서는 패드를 붙인 Platen도 돌고 웨이퍼를 잡은 Carrier도 돈다. 두 회전은 보통 같은 방향이고 회전수만 조금 다르다. 문헌에 나온 조건을 몇 개 보면 감이 온다. 775 mm 패드 위에서 4 psi로 Platen 87 rpm, Carrier 38 rpm을 쓴 연구가 있고, Cu 실험에서 4 psi에 두 회전을 똑같이 75 rpm으로 맞춘 경우도 있다. 300 mm 장비의 Platen 지름은 Applied Materials 장비에서 30인치(760 mm), Ebara 장비에서 29인치(740 mm)로 소개된다. 웨이퍼 지름의 두 배를 넘는 원판 위에서, 웨이퍼는 Platen 중심에서 떨어진 자리에 놓여 함께 돈다.

패드의 바깥쪽은 안쪽보다 빨리 움직인다. 그렇다면 웨이퍼 가운데 Platen 바깥쪽에 놓인 부분이 더 빨리 문질러질까? 한 점의 속도를 벡터로 셈해 보자. 그림 2처럼 Platen 중심 O에서 Carrier 중심 C까지의 거리를 \(e\), C에서 웨이퍼 위 점 Q까지의 거리를 \(r\), 각도를 \(\theta\)라 하자.

패드 위 점의 속도 \(\omega_p\hat z\times\overrightarrow{OQ}\)에서 웨이퍼 위 점의 속도 \(\omega_c\hat z\times\overrightarrow{CQ}\)를 빼고 크기를 구하면 다음 식이 된다. Maury 등이 Preston의 유도로 소개한 꼴이다.

식에서 놀라운 결론이 나온다. 두 회전수가 같으면(\(\omega_c = \omega_p\)) \(x = 0\)이 되어 \(r\)과 \(\theta\)가 식에서 사라진다. 웨이퍼의 모든 점이 같은 빠르기 \(\omega_p e\)로 미끄러진다. 방향까지 같다. 첫 줄의 첫 항이 사라지고 \(\omega_p\hat z\times\overrightarrow{OC}\)만 남기 때문이다(계산). 패드 위에서 보면 더 쉽다. 두 회전수가 같으면 웨이퍼는 패드에 대해 회전하지 않고 평행 이동만 하므로, 웨이퍼의 모든 점이 패드 위에 반지름 \(e\)인 똑같은 원을 그린다. 같은 시간에 같은 길이를 긁으니 같은 속도다. 예를 들어 16 rpm, \(e\) = 0.17 m라면 \(\omega_p e\) = 17.1 m/min이다(계산). 아래 애니메이션에서 한 점이 패드에 그리는 길과 웨이퍼 전체의 속도 지도를 함께 보자.

애니메이션의 상대 속도는 위 식(의 꼴)으로 웨이퍼 전체를 칸마다 계산했다. Platen 지름은 300 mm 장비의 소개값을 따랐고, 회전수와 중심 거리는 학습용 값이다.

회전이 어긋나면: 반지름별 평균 속도

두 회전수가 다르면 \(x \neq 0\)이다. 이때 한 점의 속도는 웨이퍼가 돌면서 \(\theta\)가 바뀔 때마다 오르내린다. 한 점이 오래 연마되며 겪는 평균은 \(\theta\)에 대한 평균이고, 이 평균은 완전 타원 적분으로 쓰인다. 계산해 보면 \(x\)가 작을 때 다음처럼 아주 간단해진다.

평균 속도는 \(x^2\)에 따라 늘어난다. 회전이 얼마나 어긋났는지(\(1-\omega_c/\omega_p\))의 제곱과 반지름의 제곱에 비례해 가장자리가 빨라지는 것이다. 그렇다면 그 차이는 얼마나 클까? 직접 골라 보자.

Maury 등은 테이블 속도가 Carrier 속도의 두 배이고 중심 거리가 170 mm일 때 가운데와 가장자리의 속도 차이가 6인치 웨이퍼에서 1.2%, 8인치 웨이퍼에서 2.2%라고 계산했다. 같은 식으로 다시 계산하면 1.26%와 2.25%이고, 300 mm 웨이퍼의 가장자리(150 mm)에서는 4.9%다(계산). 근사식 \(x^2/4\)로도 \(x\) = 150 × 0.5 / 170 = 0.44이므로 4.9%가 바로 나온다(계산). 회전을 절반이나 어긋나게 해도 차이는 몇 %에 그치는 것이다.

그런데 실제 웨이퍼의 가운데와 가장자리 제거 속도 차이는 보통 이보다 훨씬 크다. Maury 등은 그 주된 원인을 가장자리의 압력 효과로 꼽았다. MIT에서 영역 압력을 따로 거는 Carrier를 만든 Melvin과 Suh는 모든 영역에 같은 5 psi를 걸었을 때 제거 불균일이 16.9%였다가, 영역 압력 비를 가운데부터 1.0, 1.05, 1.10, 1.25로 바꾸자 1.7%가 되었다고 보고했다. 속도는 몇 %, 압력은 십몇 %를 움직인다. 반지름 프로파일을 맞추는 주된 손잡이가 회전수가 아니라 영역 압력인 이유다(7장).

그러면 Carrier를 좌우로 오가게 하는 Sweep(Carrier oscillation, 캐리어 왕복 운동)은 왜 할까? Maury 등은 Carrier가 두 중심을 잇는 선을 따라 오가는 이유를 패드를 고르게 닳게 하고 균일도를 높이기 위해서라고 적었다. 위 애니메이션의 ④에서 보았듯 Sweep은 웨이퍼 위 속도보다 웨이퍼가 쓰는 패드 띠를 바꾼다. 패드 쪽에서 보면 또 다른 사실이 있다. 패드 위의 한 점은 웨이퍼를 가로지르는 호를 그리는데, 웨이퍼 가장자리는 모든 호 위를 지나고 웨이퍼 가운데는 한 호 위만 지난다. 그래서 패드의 반지름별 온도가 웨이퍼의 반지름별 조건으로 옮겨진다. 패드 표면을 되살리는 Conditioner도 회전에 기대면 패드 반지름마다 상대 속도와 머무는 시간이 달라 패드가 고르지 않게 다듬어진다. 이 이야기는 4장에서 이어진다.

패드는 어디에 닿는가: 돌기, 실제 접촉, 연마 입자

Preston 식의 \(P\)는 하중을 웨이퍼 넓이로 나눈 값이다. 이것을 명목 압력(Nominal pressure)이라 하자. 그런데 패드는 매끈한 판이 아니다. 폴리우레탄 패드의 표면은 기공과 그 사이에 솟은 미세한 돌기(Asperity)로 덮여 있고, 패드는 이 돌기와 몸체로 기계 작용을 하며, 돌기와 홈으로 슬러리를 접촉면에 실어 오고, 부산물을 실어 낸다. 공초점 현미경으로 패드 표면을 잴 때는 표면 높이의 위쪽 25%에 든 봉우리를 돌기 꼭대기로 센다. 새 패드의 거칠기 Ra는 컨디셔닝 처음 30분 동안 4.6 µm에서 3.3 µm로 줄고 그 뒤 안정되었다는 장비사 자료가 있다. 웨이퍼 밑 슬러리 막은 20~80 µm로 재어졌는데, 이 값은 패드 거칠기 Ra와 비슷한 크기다.

실제 접촉 면적: Greenwood–Williamson 모델

거친 두 면이 맞닿으면 실제로 닿는 곳은 가장 키 큰 봉우리의 끝뿐이다. Greenwood와 Williamson은 1966년 거친 면의 탄성 접촉 이론을 세우고, 접촉이 순수하게 탄성이어도 실제 접촉 면적(Real contact area)이 하중에 비례할 수 있음을 보였다. 이들은 표면의 봉우리 반지름이 높이보다 몇 자릿수 크다는 점도 짚었다. 이 Greenwood–Williamson 모델(GW model)은 CMP의 열 모델과 제거 모델에 쓰이고, Borucki는 이를 바탕으로 연마 중 키 큰 돌기가 낮은 돌기보다 빨리 닳아 제거 속도가 떨어지는 과정을 모델로 만들었다.

GW 모델의 그림은 이렇다. 패드 돌기의 꼭대기는 모두 같은 반지름 \(\beta\)의 구면이고, 꼭대기 높이는 어떤 분포를 따른다. 웨이퍼가 꼭대기 높이의 기준에서 \(d\)만큼 떨어져 있으면 \(d\)보다 키 큰 돌기만 닿고, 닿은 돌기 하나하나는 Hertz 접촉처럼 눌린다. 꼭대기 높이가 오른쪽 꼬리가 지수 함수인 분포를 따른다고 놓으면 적분이 닫힌 꼴로 풀린다. 그 결과가 아래 식이다. 이 식들은 GW의 적분을 지수 분포에 대해 이 장에서 직접 풀어 얻은 것으로, 원 논문의 식을 옮긴 것이 아니다.

둘째 줄이 핵심이다. 실제 접촉 면적은 명목 압력에 비례한다. 그런데 실제 접촉 압력 \(p_r\)에는 \(p\)가 없다. 더 세게 누르면 웨이퍼가 조금 내려가 새 돌기들이 닿기 시작할 뿐, 닿은 돌기 하나가 받는 압력의 평균은 그대로라는 뜻이다. 닿은 돌기 하나의 평균 접촉 반지름도 \(\sqrt{\beta\sigma}\)로 하중과 관계없다(계산). 접촉점의 압력이 일정하다면, 한 접촉점이 깎는 양도 일정하고 접촉점의 수만 압력에 비례해 늘어난다. 제거 속도가 압력에 비례한다는 Preston 식의 \(P\)를 미시적으로 설명하는 한 가지 그림이다(원리에서 나온 해석). 반대로 \(p_r\)은 패드의 성질(\(E^*\), \(\sigma\), \(\beta\))이 정한다. 패드가 무르거나 돌기가 납작해지면 \(p_r\)이 떨어진다.

측정은 어떨까? 두 연구가 서로 아주 다른 숫자를 냈다. Elmufdi와 Muldowney는 사파이어 덮개 유리 너머로 기공 있는 폴리우레탄 패드의 접촉을 광학적으로 찍는 방법(C-RICM)으로, 실제 접촉 면적이 보여 준 면적의 10% 아래라고 보고했다. 이들은 GW 모델이 적어도 열 배 작게 예측한다고 했고, 많은 접촉이 타원이 아니라 기공 가장자리의 초승달 모양이라고 했다. Sun 등은 연마를 마친 패드를 마른 상태로 정지시켜 레이저 공초점 현미경으로 재어, 2, 4, 6 psi에서 0.026%, 0.045%, 0.059%를 얻었고 닿은 봉우리의 밀도가 압력에 비례해 늘어 GW와 맞는다고 했다.

접촉은 패드 표면의 상태에 따라 크게 바뀐다. Elmufdi와 Muldowney는 다이아몬드 컨디셔닝이 접촉 하나의 평균 크기를 줄이고, 전체 접촉 면적은 보통의 컨디셔닝 시간 안에서 최솟값을 지난 뒤 다시 늘며, 접촉 면적이 넓을수록(점 응력이 낮을수록) 결함이 적은 것과 이어진다고 보고했다. Liao 등은 컨디셔너 하중을 26.7 N에서 44.5 N으로 올렸을 때 마찰 계수는 7%만 늘었지만 제거 속도는 65% 늘고 접촉 면적은 71% 줄었다고 했다. 접촉 면적이 줄어 접촉점의 압력이 올라가자 더 잘 깎인 것이다. 반대로 패드가 매끈해지는 Glazing은 실제 접촉 면적을 넓혀 국소 접촉 압력을 낮추고 제거 속도를 떨어뜨린다. 위 시뮬레이터의 ③이 이 그림이다. 패드 표면이 어떻게 만들어지고 유지되는지는 4장에서 다룬다.

연마 입자 하나의 일: 압입과 홈

패드 돌기와 웨이퍼 사이에는 연마 입자가 끼어 있다. CMP는 패드, 웨이퍼, 슬러리 입자 셋이 함께 닿는 삼체 접촉(Three-body contact)이다. 슬러리 입자로는 지름 50~150 nm의 실리카, 알루미나, 세리아가 가장 흔하다. 콜로이달 실리카는 5~200 nm 사이에서 크기를 고를 수 있고, 흄드 실리카는 약 30 nm의 1차 입자가 불꽃 속에서 엉겨 140~160 nm의 응집체를 이룬다.

돌기가 입자를 누르면 입자는 막에 아주 조금 파고들고, 미끄러지며 얕은 홈을 판다. Luo와 Dornfeld는 이 고체–고체 접촉을 바탕으로 제거 속도를 '일하는 입자의 수 × 입자 하나가 걷어 내는 부피'로 쓰고, 막과 패드의 경도, 패드 거칠기, 입자 크기와 모양을 넣었다. 화학은 맞춤값으로 정하는 '동적' 경도를 통해 들어간다. 그 출발점은 단단한 구가 무른 면을 소성으로 누르는 관계다.

이 식으로 화학의 역할을 한 번 더 셈해 보자. 같은 힘으로 같은 입자를 누를 때, 막이 W(경도 22.5 GPa)이면 WO₃(7.5 GPa)일 때보다 경도가 세 배이므로 압입 깊이는 1/3이다. 얕은 홈의 단면적은 깊이의 3/2제곱에 비례하므로, 산화제가 표면을 WO₃로 바꿔 두면 같은 힘에서 홈 단면적이 약 \(3^{3/2} \approx 5.2\)배가 된다(계산). 1절에서 본 '화학이 막을 무르게 하면 기계가 훨씬 잘 깎는다'를 숫자로 본 것이다.

크기도 어림해 보자. 표 3의 공초점 값에서 나온 실제 접촉 압력 61 MPa가 지름 100 nm 입자의 단면(지름 100 nm 원)에 그대로 걸린다고 가정하면 입자 하나의 힘은 약 0.5 µN이고, 압입 깊이는 WO₃에서 약 0.2 nm, W에서 약 0.07 nm다(계산, 학습용 가정). 입자 하나가 한 번 지나가며 파는 깊이가 0.1 nm 안팎이라는 뜻이다. 이렇게 얕은 홈이 수많은 입자와 접촉점에서, 1초에도 여러 번 겹쳐 쌓여 분당 수십~수백 nm의 제거가 된다. 거꾸로, 큰 입자나 뭉친 입자 하나가 돌기 밑에 끼면 힘이 한 점에 몰려 깊은 긁힘이 남는다. 그 이야기는 3장의 큰 입자 관리로 이어진다.

마찰과 윤활: Stribeck 곡선

웨이퍼를 패드 위에서 끌면 마찰이 생긴다. 미끄러지는 방향의 힘(전단력)을 누르는 힘으로 나눈 값이 마찰 계수(COF, Coefficient of friction)다. Arizona 대학 연구진의 연구용 연마기는 전단력과 수직력을 하중 센서로 1초에 1,000번 재는데, 20년 동안 모은 데이터에서 신호의 가장 높은 주파수가 500 Hz를 넘은 적이 없다고 한다. 마찰 계수는 접촉면에서 무슨 일이 일어나는지 알려 주는 창이다. 패드 돌기와 입자가 웨이퍼에 바짝 붙어 긁는지, 슬러리 막이 그 사이를 떠받치는지가 여기에 드러난다.

기계공학에는 이 질문에 쓰는 오래된 도구가 있다. 저널 베어링(축과 축받이 사이에 기름이 든 베어링)에서 나온 Hersey 수(Hersey number)는 윤활액의 점도 × 속도 ÷ 압력으로, 길이의 단위를 가진다. 마찰 계수를 Hersey 수에 대해 그리면 세 영역을 지나는 곡선이 나오는데, 이것이 Stribeck 곡선(Stribeck curve)이다. CMP에서는 여기에 웨이퍼 밑 슬러리 막의 유효 두께 \(\delta\)를 넣어 무차원으로 만든 Sommerfeld 수(Sommerfeld number)를 쓴다.

Sommerfeld 수가 작은 쪽, 곧 느리고 세게 누르는 쪽부터 보자. 패드, 입자, 웨이퍼가 바짝 붙어 있는 경계 윤활(Boundary lubrication)에서는 마찰 계수가 높고 평평하다. Sommerfeld 수가 커져 슬러리 막이 돌기 높이와 비슷해지는 혼합 윤활(Mixed lubrication)에서는 마찰 계수가 가파르게 떨어진다. 더 커지면 웨이퍼가 슬러리 막 위에 뜨는 유체 윤활(Hydrodynamic lubrication)이 되어 마찰 계수가 낮아지고, 슬러리에 따라 기울기의 부호가 바뀌기도 한다. 웨이퍼가 물 위의 타이어처럼 슬러리 막에 올라타는 이 상태를 Hydroplaning(수막 현상)이라 부른다.

CMP는 어디쯤에서 일할까? Borucki 등은 정지 접촉부터 Hydroplaning까지를 분석해, CMP가 보통 접촉점에서 수 나노미터 두께의 윤활층을 둔 경계 또는 혼합 윤활에서 일한다고 결론지었다. 이들에 따르면 미끄러지는 고체 접촉의 면적이 마찰 계수를 주로 정하고, 고체 접촉과 윤활된 접촉의 면적이 함께 제거 속도를 정한다. 네 종류의 패드(열경화·열가소, 성형·가공, 동심원·로그 나선 홈)가 모두 경계 윤활에서 연마했다는 측정도 있고, STI 연구에서는 혼합 윤활이 주된 영역이었으며 Si₃N₄의 마찰 계수는 SiO₂의 절반쯤이었다. 실리카 슬러리 두 종류는 Sommerfeld 수 10⁻⁴~10⁻³에서 경계 윤활이었고, 평균 마찰 계수가 흄드 실리카 0.3, 콜로이달 실리카 0.22였다.

숫자를 넣어 보자. 슬러리 점도는 보통 물과 비슷하다. 상용 실리카 슬러리는 전단 속도 1,000 s⁻¹ 아래에서 약 2 mPa·s의 뉴턴 유체이고, 10⁵~10⁶ s⁻¹에서는 약 10 mPa·s까지 끈적해진다. 연마 중의 전단 속도는 8,000~30,000 s⁻¹로 어림된다. 점도 1 mPa·s, 속도 1 m/s, 압력 4 psi에서 슬러리 막을 20~80 µm로 놓으면 Sommerfeld 수는 1.8×10⁻³에서 4.5×10⁻⁴다(계산). 보고된 경계 윤활 범위와 같은 크기다.

슬러리 막은 웨이퍼 모양과 회전에도 반응한다. Runnels와 Eyman은 보통의 CMP 조건에서도 Hydroplaning이 가능하며 막 두께가 웨이퍼의 휨, 슬러리 점도, 회전 속도에 달려 있다고 분석했다. Lu 등은 볼록한 웨이퍼에서 하중을 올리면 막이 얇아져 마찰이 커지고 패드를 빨리 돌리면 막이 두꺼워져 마찰이 줄지만, 오목한 웨이퍼에서는 하중을 올려도 막이 그대로이고 마찰이 줄었다고 보고했다. 같은 레시피라도 들어온 웨이퍼의 휨에 따라 접촉면의 유체 역학이 달라진다는 뜻이다. 패드의 홈은 연속된 슬러리 막을 끊어 Hydroplaning을 막는 일도 한다.

근거: Hersey 수와 Sommerfeld 수, 세 영역의 모양, 실리카 슬러리의 마찰 계수와 Sommerfeld 수 범위, 슬러리 점도, 슬러리 막 20~80 µm, 고체 접촉이 제거 속도를 정한다는 해석. 산화막 슬러리의 제거 속도가 분당 2,500 Å 정도라는 정리에 맞춰 기본값의 크기를 정했다.

마찰 계수와 제거 속도는 함께 움직일까? 꼭 그렇지는 않다. Rosales-Yeomans 등은 질감이 다른 IC-1000 패드와 흄드 실리카 슬러리에서 패드 질감이 윤활 방식을 정했고 마찰 계수와 ILD 제거 속도 사이에 직선 관계가 있었다고 보고했다. Philipossian과 Olsen은 실시간 마찰 계수와 Sommerfeld 수로 '마찰 기구 지표'를 정의하고, 연마 입자 농도·표면 질감·패드 홈이 경계 윤활에서 부분 윤활로 옮겨 가게 만든다는 것을 보였다. 그런데 앞에서 본 Liao 등의 실험에서는 마찰 계수가 7% 느는 동안 제거 속도가 65% 늘었다. McAllister 등은 서로 다른 디스크로 길들인 패드에서 마찰 계수와 제거 속도가 따로 놀았는데, 지지가 약해 부서진 기공 벽 조각이 쉽게 윤활되어 마찰은 거의 보태지 않으면서 제거에는 보탰기 때문이라고 해석했다. 마찰은 고체 접촉을, 제거는 고체 접촉과 윤활된 접촉을 함께 본다는 Borucki 등의 정리와 같은 이야기다.

마찰열과 온도

마찰한 일은 열이 된다. MIT의 White 등은 이렇게 셈했다. 마찰력은 마찰 계수 × 누르는 힘이고, 패드로 들어가는 일률은 마찰력 × 속도, 열은 일률 × 시간이다. 패드 온도는 마찰, 속도, 시간과 함께 방사율과 열전달에 달려 있다. 단위 면적으로 쓰면 1절의 두 단계 모델에서 기계 쪽 속도를 정하던 바로 그 양이 나온다.

크기를 보자. 마찰 계수 0.46, 4 psi, 1 m/s라면 \(q\)는 약 12.7 kW/m²이고, 300 mm 웨이퍼 전체로는 약 900 W다(계산, 마찰 계수). 웨이퍼 한 장 밑에서 전기 히터 하나만큼의 열이 나는 셈이다. Cu의 보고 조건(마찰 계수 0.88, 14 kPa, 0.62 m/s)이라면 약 7.6 kW/m²다(계산). 이 열은 웨이퍼와 Carrier 쪽으로, 패드와 Platen 쪽으로, 그리고 흐르는 슬러리로 빠져나간다.

얼마나 데워지나

MIT의 White 등은 8인치 Cu 블랭킷 웨이퍼를 연마하며 적외선 카메라로 패드를 찍었다. 패드가 다시 웨이퍼 밑으로 들어오기 전에 열이 다 빠지지 못해 연마하는 동안 패드에 열이 쌓였고, 125초 근처에서 온도가 뚝 떨어진 곳은 Cu가 다 벗겨진 시점이었다. 같은 연구진은 이 현상을 에너지 수지 모델로 정리했다. 열은 헤드 밑의 패드에 쌓이고 나머지 회전 동안 슬러리로 빠지며, 이 가열–냉각 순환이 매 연마 시작 때의 과도 현상을 만들 수 있다. Hocheng 등은 상대 속도가 패드 온도를 올리는 에너지를 정하고, 패드 온도가 제거 속도·균일도·패드 수명과 이어진다는 것을 열화상으로 확인했다.

웨이퍼 쪽은 패드보다 뜨겁다. Sampurno 등은 홈을 낸 Carrier 너머로 적외선을 재어 기판 온도가 패드 온도보다 높고, 그 분포가 웨이퍼 밑 슬러리의 흐름을 따른다는 것을 보였다. 학위논문에서는 패드의 뒤쪽 가장자리(웨이퍼를 막 빠져나온 쪽)가 앞쪽보다 뜨겁고, 바깥쪽 측정 창이 안쪽보다 약 1 °C 낮으며, Conditioner가 Sweep할 때 온도가 출렁인다고 적었다. Nishimoto 등은 한 반지름에서 시간에 따른 온도 변화는 1 °C 아래였지만 패드 위 자리에 따른 차이는 12 °C에 이를 수 있다는 앞선 측정을 인용하고, 반지름 방향 온도 불균일이 산화막 두께 불균일과 상관이 있음을 보였다. 3절에서 본 대로 패드의 반지름별 조건은 웨이퍼의 반지름별 조건으로 옮겨진다.

제거 속도가 큰 금속 공정에서는 온도가 훨씬 많이 오른다. Applied Materials의 특허는 2 psi, 8,000 Å/min의 전형적인 1분짜리 Cu CMP에서 폴리우레탄 패드 표면이 약 30 °C 오를 수 있다고 적었다. 다른 특허는 Cu 제거 속도가 높을 때 온도가 때로 70 °C를 넘는다고 했다.

온도가 바꾸는 것: 화학 쪽과 기계 쪽

온도는 먼저 화학을 바꾼다. 1절의 두 단계 모델에서 반응 속도 \(k_1\)은 Arrhenius 식 \(A\,e^{-E/kT}\)를 따르고, ILD에서는 \(E\) = 0.53 eV를 쓴다. Sorooshian 등은 온도를 제어하며 연마해 Cu와 ILD CMP의 온도에 민감한 부분과 민감하지 않은 부분을 나누고, 온도에 민감한 모든 일을 묶은 '종합 활성화 에너지'를 정의했다. 슬러리–패드 조합마다 막별로 고유한 값이 있다. Arrhenius 식의 감도를 직접 계산하면 표 5와 같다. Arrhenius 식 자체는 DIFF 책의 확산 장에서 자세히 다뤘다.

평균 온도만이 아니다. 실제 접촉 면적이 작고 접촉점의 압력이 높으므로, 웨이퍼 위 한 점은 돌기와 마이크로초 단위로 짧게 부딪히고, 그 순간 반응 온도가 평균보다 높이 솟을 수 있다. Sampurno는 이 순간 가열(Flash heating)이 0.4~0.7 eV 범위의 활성화 에너지를 가진 반응에 의미가 있다고 정리했다. 두 단계 모델에서 반응 온도를 평균 패드 온도에 마찰 일률에 비례하는 항을 더한 꼴로 쓰는 것도 이 때문이다.

온도는 기계 쪽도 바꾼다. 열가소성 패드의 저장 탄성률은 20 °C에서 40 °C 사이에 45% 떨어졌고 열경화성 패드는 20% 떨어졌다. 4절의 GW 식에서 보았듯 탄성률이 내려가면 실제 접촉 압력이 내려간다. 한편 패드 온도가 오르면 슬러리 수송이 나아지고 기공이 넓어져 제거 속도가 오를 수도 있다는 정리도 있다. Rodel의 패드 특허는 기공이 모자라면 패드가 과열되어 쉽게 Glazing된다고 적었다. 그래서 온도가 Cu 제거 속도와 함께 움직인다는 관찰이 많다. Sampurno는 패드 온도의 큰 과도 변화가 기판을 더 뜨겁게 하고, 산화가 빨라져 Cu 제거 속도가 오른다는 연구들을 정리했다. Applied Materials의 특허는 온도 변화가 제거 속도, 균일도, Erosion, Dishing, 잔사를 바꾸며, 상대 속도가 패드 반지름에 따라 달라 가열도 고르지 않다고 적고, 반지름마다 따로 데우거나 식히는 열 제어 모듈을 제안했다.

장비는 P·V·μ·T를 어떻게 만들고 재나

지금까지 나온 기호를 장비의 부품으로 옮겨 보자. 웨이퍼는 앞면이 아래로 가게 Carrier에 잡히고, Carrier는 돌면서 웨이퍼를 Platen 위에서 도는 패드에 누른다. 패드 위에는 연마 입자와 산화제·억제제·계면활성제·pH 완충제 등이 든 슬러리가 떨어지고, 다이아몬드 디스크가 돌며 패드를 가로질러 오가 돌기를 되살린다. Applied Materials는 웨이퍼 뒷면 전체에 힘을 걸어 앞면을 회전하는 패드에 누르며, 제어 시스템이 웨이퍼의 여러 지점 두께를 계속 재어 1초에 여러 번 누르는 힘을 고친다고 소개한다(장비사 설명). 장비의 부품 하나하나는 7장에서 다루고, 여기서는 이 장의 식과 이어지는 부분만 본다.

표를 읽는 요령이 있다. P와 V는 장비가 '정해서 거는' 값이고, 레시피에 그대로 적힌다. 반면 μ와 T는 거는 값이 아니라 '결과로 나오는' 값이다. 같은 레시피라도 패드가 닳거나 슬러리 로트가 바뀌면 달라진다. 그래서 장비는 μ를 모터 전류나 토크로, T를 적외선으로 지켜보며 이상의 조짐이나 종말점을 찾는다. Kp와 k₁은 장비의 손잡이로 직접 돌릴 수 없고 소모품(슬러리, 패드, 디스크)이 정한다. 그러니 이 장의 식 RR = f(P, V, μ, T, 화학) 가운데 장비가 매 순간 쥐고 있는 것은 P와 V, 일부 장비에서는 T뿐이다. 나머지는 재고, 추세를 보고, 소모품을 관리해서 간접적으로 붙잡는다. 이것이 CMP 엔지니어의 일이 레시피만큼 소모품과 데이터에 쏠려 있는 이유다(원리에서 나온 해석).

압력을 거는 방식도 Preston 식의 가정과 다르다. Preston 식은 압력이 웨이퍼 전체에 고르다고 본다. 실제 Carrier는 막 뒤의 여러 챔버로 반지름마다 다른 압력을 걸어, 다른 원인으로 생긴 고르지 않은 제거 속도나 들어온 막의 고르지 않은 두께를 보정한다. 그리고 웨이퍼 둘레를 감싼 Retaining ring은 웨이퍼가 빠져나가지 않게 잡아 주면서 웨이퍼 둘레의 패드를 함께 눌러, 탄성 있는 패드 때문에 가장자리가 둥글게 깎이는 것을 막는다. 반지름별로 다른 \(P(r)\)를 곱한 Preston 식, 곧 \(\mathrm{RR}(r) = K_p\,P(r)\,\langle v\rangle(r)\)가 장비의 프로파일 제어가 쓰는 가장 단순한 그림이다(원리에서 나온 해석).

Preston은 출발점이지 정답지가 아니다

이제 이 장의 조각들을 한데 모을 때다. RR ≈ Kp·P·V는 "압력이나 상대 속도를 올리면 접촉과 마찰이 커져 더 깎일 수 있다"는 직관을 준다. 하지만 실제 CMP에서 압력과 속도는 그것만 바꾸지 않는다. 슬러리가 접촉면에 들어오고 나가는 흐름, 마찰열, 패드의 변형, 실제 접촉 면적, 화학 반응, 입자의 움직임까지 함께 바꾼다. 그래서 제거 속도가 늘 압력과 속도에 정확히 비례한다고 단정하면 안 되고, 현대의 CMP 모델은 압력 분포, 상대 속도 분포, 화학 반응, 패드 접촉을 덧붙여 다룬다. 그림 8은 이 장에서 하나씩 본 '함께 바뀌는 것들'을 모은 것이다.

그림의 상자들은 서로 맞물린다. 압력을 올리면 닿는 돌기가 늘어 기계 작용이 커지고(4절), 마찰 일률이 커져 패드가 데워지며(6절), 데워진 만큼 반응이 빨라져 반응 제한이던 막도 조금 더 깎인다(1절). 속도를 올리면 기계 작용이 커지는 동시에 슬러리 막이 두꺼워져 고체 접촉이 줄어들 수 있다(5절). 어느 효과가 이기는지는 계산해 보기 전에는 알 수 없다. 패턴이 있는 웨이퍼에서는 여기에 하나가 더 붙는다. 높은 곳과 낮은 곳의 압력이 다르므로, 압력에 대한 비선형성이 패턴 의존성까지 바꾼다. Boning 등은 단차가 패드의 접촉 높이보다 크면 단차가 시간에 따라 직선으로, 작으면 지수적으로 줄어든다고 정리하면서 비Preston 압력 의존성이 패턴 의존성에 미치는 영향을 모델로 다뤘다. 이 이야기는 5장에서 이어진다.

현장에서 가장 흔히 마주치는 질문은 "제거 속도를 올리려면 압력을 올리면 되지 않나?"이다. 이 장의 답은 "올라갈 수는 있지만 그것만 보면 안 된다"이다. 기계 작용이 지나치면 긁힘과 불균일이 생기고, 온도가 오르면 제거 속도뿐 아니라 균일도, Erosion, Dishing, 잔사까지 바뀐다. 반지름 프로파일, 특히 가장자리는 압력 분포에 민감하다. 그래서 레시피를 바꾸면 제거 속도 하나가 아니라 제거 속도–WIWNU–결함–프로파일을 함께 보고 판단한다. 아래 CHALLENGE에서 이 장의 모든 조각을 합친 모델로 목표 제거 속도를 맞춰 보자. Preston 식이 맞는 막과 빗나가는 막이 함께 나온다.

그렇다면 Preston 식은 버려야 할까? 그렇지 않다. 잘 알고 있는 조건 근처에서 압력이나 시간을 조금 바꿀 때의 효과를 어림하는 데에는 직선이 잘 맞는다. 실제로 CMP 공정 제어는 제거량을 '기울기 × 입력 + 절편'의 직선으로 놓고, 매 런의 측정으로 절편만 고쳐 가며 쓴다. 이 방법으로 패드 하나를 500장 동안 목표 근처에 붙잡아 둔 예가 있다. 직선 하나로 공정 전체를 설명하려 하면 빗나가지만, 직선을 '지금 이 조건 근처의 기울기'로 쓰고 계속 다시 맞추면 강력한 도구가 된다(원리에서 나온 해석). Preston 식은 출발점이고, 그 계수를 바꾸는 화학·접촉·윤활·온도를 아는 것이 엔지니어의 몫이다.