금속의 저항과 크기 효과

저항은 어디서 오나

전선의 저항은 두 가지가 정한다. 하나는 모양이다. 길수록 저항이 크고, 단면이 넓을수록 작다. 다른 하나는 재료다. 모양이 같아도 Cu는 W보다 전기가 훨씬 잘 통한다. 재료의 몫만 따로 떼어 낸 값이 비저항(Resistivity, ρ)이고, 배선 한 토막의 저항(Resistance, R)은 비저항에 모양을 곱해 얻는다. 반도체 배선에서는 길이 1 µm당 저항, 곧 선 저항(Line resistance, Ω/µm)으로 자주 말한다.

비저항은 원래 모양이나 크기와 상관없는 재료의 성질로 정의한다. 예를 들어 폭 20 nm, 높이 40 nm, 길이 1 µm인 Cu 배선에 덩어리 Cu의 비저항 1.678 µΩ·cm를 넣으면 약 21 Ω이 나온다(계산). 하지만 5절의 모델로 Barrier와 크기 효과까지 넣어 계산하면 이보다 5배 넘게 커진다. 왜 그런지 알려면 금속 속에서 전자가 어떻게 움직이는지부터 봐야 한다.

금속에는 원자에 묶이지 않고 움직이는 전자가 많다. 가장 단순한 그림인 Drude 모형(Drude model)은 이 전자들을 기체 분자처럼 날아다니는 입자로 본다. 전자는 다음 충돌까지 곧게 날아가고, 충돌할 때마다 속도의 방향이 무작위로 바뀐다. 한 번 충돌한 뒤 다음 충돌까지의 평균 시간을 이완 시간(Relaxation time, τ)이라 한다. 전기장 \(E\)가 걸리면 전자는 충돌과 충돌 사이에 힘을 받아 한쪽으로 조금씩 쏠린다. 충돌하면 그 쏠림이 지워지므로, 평균적으로 남는 속도인 표류 속도(Drift velocity)는 τ에 비례한다. 여기서 전도도와 비저항이 바로 나온다.

식이 말하는 것은 단순하다. 비저항은 전자가 얼마나 자주 부딪히느냐로 정해진다. 그럼 전자는 무엇에 부딪힐까? 원자에 부딪힐 것 같지만 그렇지 않다. 전자는 파동이어서 완벽하게 주기적인 격자는 산란 없이 지나간다. 전자를 흩뜨리는 것은 격자의 흐트러짐이다. 열 때문에 떨리는 원자, 곧 포논(Phonon, 격자 진동)과, 불순물이나 결함처럼 주기성을 깨는 것들이다. 순도 높은 덩어리 금속의 상온 비저항은 대부분 전자–포논 산란이 정한다.

두 산란이 서로 독립이라면 단위 시간당 충돌 확률이 더해진다. 비저항은 \(1/\tau\)에 비례하므로 비저항도 더해진다. 이것이 Matthiessen 규칙(Matthiessen's rule)이다.

상온은 대부분의 금속에서 비저항이 온도에 거의 비례하는 구간에 든다. 다만 Matthiessen 규칙은 경험 규칙이라 산란 과정이 서로 얽히면 틀릴 수 있다. 3·4절에서 표면과 결정립계를 이 목록에 더할 때 이 단서가 다시 중요해진다. 아래 애니메이션에서 Cu를 흉내 낸 전자 기체를 데우고 불순물을 섞어 보자.

근거: 포논 몫은 Cu의 온도별 비저항(80, 273, 293, 300, 500 K) 표 값을 선형 보간했다. τ와 λ는 제1원리 계산의 Cu 값 ρτ = 6.36×10⁻²² Ω·m·s와 평균 페르미 속도 1.09×10⁶ m/s에서 τ = ρτ/ρ, λ = v·τ로 계산했다. 불순물 몫은 학습용으로 정한 값이다.

실제 Cu의 값으로 확인해 보자. Cu의 비저항은 80 K에서 0.215, 273 K에서 1.543, 293 K(20 °C)에서 1.678, 500 K에서 3.090 µΩ·cm다. 상온에서 500 K까지 데우면 약 1.8배가 되고, 80 K로 식히면 약 8분의 1로 줄어든다(계산). Stanford 강의 노트도 상온에서 77 K로 식히면 비저항이 약 한 자릿수 줄어든다고 적는다. 칩이 뜨거워지면 배선 저항도 커진다는 뜻이고, 이는 7장의 신뢰성과 이어진다.

배선에 쓰이거나 후보로 거론되는 금속의 덩어리 비저항을 모으면 다음과 같다. Cu가 가장 낮고, Al이 그다음이며, W, Mo, Co, Ru는 Cu의 3~4배 수준이다.

평균 자유 행로: 전자가 한 번에 가는 거리

충돌과 충돌 사이에 전자가 날아가는 평균 거리가 평균 자유 행로(Mean free path, λ)다. 금속에서 전류를 나르는 것은 페르미 면 근처의 전자뿐이고 이들은 페르미 속도로 움직이므로, λ는 페르미 속도와 이완 시간의 곱으로 쓴다. 원자 사이를 지날 때마다 부딪힐 것 같지만, 실제 금속의 λ는 원자 간격의 수십 배에 이른다.

Cu는 λ가 특히 길다. 제1원리 계산으로 얻은 Cu의 τ는 37.2 fs, 평균 페르미 속도는 1.09×10⁶ m/s이고, 둘을 곱한 λ는 40.6 nm다. 계산 방법에 따라 39.9 nm, 40.7 nm로 조금씩 다르지만 모두 약 40 nm다. imec의 Soulié 등은 이 값이 지금의 배선 치수와 결정립 크기에 비해 크다고 지적한다. 배선 폭은 금속 피치의 절반이다. IRDS 2023 로드맵의 2025년 Mx 피치는 24 nm이므로 선폭은 약 12 nm다. Cu의 λ는 이 폭의 세 배가 넘는다(계산). 덩어리 속이라면 한 번 산란되기 전에 날아갈 거리를, 배선 속 전자는 벽에 부딪혀 끊기고 만다.

그렇다면 λ가 짧은 금속일수록 좋을까? 꼭 그렇지는 않다. Drude 식 \(\rho = m/(ne^2\tau)\)에 \(\tau = \lambda/v_F\)를 넣으면 τ가 사라진다(식 변형).

실제 금속에서도 이완 시간이나 평균 자유 행로가 전자의 방향과 무관하다고 근사하면, ρ₀·λ 곱은 산란의 세부와 상관없이 페르미 면의 모양만으로 정해진다. 그래서 제1원리 계산으로 비교적 쉽게 구할 수 있고, 새 배선 금속을 고르는 성능 지수(Figure of merit)로 쓴다. 다음 절에서 보겠지만 얇은 막에서 늘어나는 비저항 몫은 대략 ρ₀λ를 두께로 나눈 값에 비례한다. 그래서 아주 가는 배선에서는 ρ₀λ가 작은 금속이 유리하다. Gall은 20가지 금속을 계산해, 좁은 배선의 극한에서 Rh, Ir, Ni가 Cu보다 각각 2.1, 1.8, 1.6배 전도성이 좋고 Mo, Co, Ru는 Cu와 비슷하다고 보고했다.

아래 지도에서 금속을 골라 보자. 위쪽 그래프의 점선은 ρ₀λ가 같은 금속들이 놓이는 선이다. 아래 막대는 두께 t인 막의 비저항을 다음 절의 표면 산란 식(완전 난반사, p = 0)으로 계산한 값이다. 결정립계와 Barrier는 아직 넣지 않았다.

막대가 보여 주듯 표면 산란만 따지면 Cu는 몇 nm까지도 쉽게 지지 않는다. ρ₀가 워낙 낮기 때문이다. Soulié 등도 ρ₀λ가 같다면 덩어리 비저항이 낮은 금속이 더 큰 치수에서 Cu를 앞지르므로 여전히 유리하고, λ가 가장 짧은 금속이 Cu를 이기는 치수는 배선에 쓰기에는 너무 작을 수 있다고 지적한다. 그런데도 실제 배선에서 다른 금속이 Cu를 위협하는 이유는 4절의 결정립계와 5절의 Barrier에 있다.

표면 산란: Fuchs–Sondheimer 모델

얇은 금속막의 전도도가 덩어리보다 떨어진다는 것은 오래전부터 알려졌다. 알칼리 금속 박막이 원자 몇 층 두께까지 얇아지면 전도도가 덩어리보다 떨어진다는 측정이 있었고, 1938년 Fuchs는 전도 전자가 막의 경계와 부딪혀 평균 자유 행로가 짧아진다는 가설에서 이를 설명하는 더 정확한 식을 유도했다. 이렇게 막의 경계에서 일어나는 산란을 표면 산란(Surface scattering)이라 하고, 이를 다루는 식을 Fuchs–Sondheimer 식(FS model)이라 부른다.

표면에 부딪힌 전자가 튕겨 나가는 방식은 두 가지다. 거울처럼 표면에 수직인 운동량 성분만 뒤집히고 나머지는 그대로인 정반사(Specular reflection)와, 튕겨 나가는 방향이 무작위인 난반사(Diffuse scattering)다. 정반사만 있다면 막이 얇아져도 비저항이 늘지 않고, 난반사가 있으면 두께에 따라 크게 변한다. 표면에서 정반사하는 전자의 비율을 정반사 비율(Specularity, p)라 한다. p = 1이면 완전 정반사, p = 0이면 완전 난반사다.

결정립계를 무시하고 등방적인 페르미 면을 가정하면, 두께 t인 막의 전도도는 다음 식으로 쓸 수 있다.

적분이 부담스러우면 두꺼운 막(\(\kappa \gg 1\))에서 근사해 보자. \(e^{-\kappa u}\)가 0에 가까워지면 적분은 \(\int_1^\infty(u^{-3}-u^{-5})\,du = 1/4\)이 되고, 다음 근사식을 얻는다. 이 식은 위 적분식에서 이 장이 계산으로 얻은 근사이며, 원래 식의 출처는 위와 같다.

p는 무엇이 정할까? Soulié 등은 p가 금속만의 성질이 아니라 맞닿은 재료와 계면의 거칠기에 달린 값이라서, 계산으로 미리 예측해 금속을 고르는 데 쓸 수 없다고 강조한다. 실제로 같은 Ru라도 열처리한 Ru/SiO₂ 막은 p = 0.98±0.09, TaN 사이에 끼운 Ru는 p = 0.01±0.06으로 정반대였다. TaN 사이의 Cu는 p = 0.05±0.04로 거의 완전한 난반사였다. 2000년대 초 Kapur 등은 Cu의 현실적인 값으로 p ≈ 0.5를 가정해 계산했다. Gall은 정반사 계면을 얻으려면 계면과 Liner의 상태 밀도가 낮아야 하고(절연성 Liner), 금속과 Liner의 계면이 매끄러운 에피택시 계면이거나 2차원 물질처럼 약하게 결합해야 한다고 정리한다.

근거: 정확한 곡선은 FS 적분식을 수치 적분했고, 점선은 위의 두꺼운 막 근사다. 금속 값은 Cu 1.71 µΩ·cm·40.6 nm, Ru 7.6 µΩ·cm·6.6 nm, W 5.28 µΩ·cm·19.1 nm, Mo 5.3 µΩ·cm·10.9 nm이다.

배선은 막과 달리 위아래뿐 아니라 양옆에도 표면이 있다. 그래서 이 책의 선 저항 모델은 두꺼운 막 근사를 폭과 높이 방향에 각각 적용해 \(\tfrac{3}{8}(1-p)\lambda\,(1/w + 1/h)\)를 더한다. 이것은 계산을 단순하게 하려는 학습용 근사이며, 폭이 λ보다 훨씬 작은 영역에서는 정확한 계산과 다를 수 있다.

결정립계 산란: Mayadas–Shatzkes 모델

증착하고 도금한 금속은 하나의 결정이 아니라 방향이 제각각인 작은 결정, 곧 결정립(Grain)의 모자이크다. 결정립과 결정립이 만나는 경계가 결정립계(Grain boundary)이고, 여기서도 전자가 튕겨 나간다. 1970년 Mayadas와 Shatzkes는 막 비저항이 두께에 따라 달라지는 것이 Fuchs의 표면 효과만이 아니라 결정립계 산란 때문이기도 하다는 것을 보였다. 이 모델은 결정립계를 전류 방향에 수직하게 늘어선, 일부만 투과하는 면으로 다룬다. 전자가 결정립계에서 되튕겨 나가는 확률을 반사 계수(Reflection coefficient, R)라 한다.

결정립계 산란만 있을 때의 비저항은 다음과 같다.

결정립 크기는 어떻게 정해질까? 결정립 크기는 흔히 막 두께에 크게 좌우되지만, 그 관계는 증착 조건과 열처리에 크게 좌우되는 공정의 결과이지 금속 고유의 성질이 아니다. 두께에 정비례한다는 가정은 넓은 두께 범위에서 실험과 맞지 않는 경우가 많고, 결정립 크기를 미리 예측하는 모델도 아직 없다. Dutta 등이 420 °C에서 20분 열처리한 막들을 보면, 어떤 막은 평균 결정립계 간격이 두께와 비슷했고 다른 막은 30 nm 이상에서 포화했다.

R도 금속의 고정값이 아니다. 결정립계 양쪽의 방향 차이와 원자 배열에 따라 달라서, 작은 각도 결정립계나 정합 결정립계는 R이 작고 무작위의 큰 각도 결정립계는 크다. Philip 등이 표로 정리한 제1원리 계산 값에서 Cu의 Σ3 쌍정 경계 반사 계수는 0.02에 불과하다. 막에서 측정으로 맞춘 R은 여러 결정립계의 평균이다. Dutta 등의 값은 TaN 사이의 Cu가 0.22±0.02, Ru가 0.43~0.58, Ir이 0.47이었고, Ru/SiO₂는 열처리로 0.58에서 0.43으로 줄었다.

근거: 식과 α의 정의, 정의 사이의 환산. Cu는 ρ₀ 1.71 µΩ·cm·λ 40.6 nm·R 0.22(TaN/Cu/TaN), Ru는 7.6 µΩ·cm·6.6 nm·R 0.43(Ru/SiO₂, 열처리)이다.

시뮬레이터에서 보았듯 λ가 짧은 금속은 결정립이 작아져도 덜 민감하다. Soulié 등도 표면이든 결정립계든 비저항이 늘어나는 정도는 λ에 따라 커지므로, R이 크거나 결정립이 작거나 표면이 난반사여도 λ가 짧으면 그 영향이 줄어든다고 설명한다. 반대로 결정립을 키우면 결정립계 몫을 없앨 수 있다. Gall은 결정립이 넓은 배선에서는 200 nm보다, 좁은 배선에서는 선폭의 10배보다 크면 상온에서 결정립계 몫을 무시할 수 있다고 정리한다.

이제 표면과 결정립계를 함께 넣어야 한다. 엄밀한 Mayadas–Shatzkes 식은 두 효과를 하나의 적분으로 다룬다. 두 효과의 몫을 떼어 단순히 더하는 근사는 결정립계 산란이 평균 자유 행로를 바꿔 놓기 때문에 정확하지 않으며 조심해서 써야 한다. 그 한계를 알고, 이 책은 계산을 가볍게 하려고 다음 학습용 근사를 쓴다.

Barrier가 차지하는 자리

Cu 배선에는 비저항만으로는 보이지 않는 대가가 하나 더 있다. Cu는 주변 절연막으로 쉽게 빠져나가 절연막을 망가뜨리고 이웃 배선과 합선을 일으킨다. 그래서 Cu 배선은 Cu가 새지 않게 막는 확산 방지막(Diffusion barrier, 보통 TaN 계열)으로 둘러싸고, Barrier와 Cu 사이에는 접착과 Electromigration 수명을 돕는 Liner(보통 Co)를, 위에는 캡층(Capping layer)을 둔다. Barrier와 Liner를 입히는 방법은 3장에서, Cu가 절연막으로 새어 나갈 때 생기는 고장은 7장에서 다룬다.

Barrier 재료의 비저항은 수백 µΩ·cm 수준이라 한 자릿수인 Cu에 비하면 전류를 거의 나르지 않는다. 그래서 Barrier가 차지한 단면은 그냥 잃은 면적으로 본다. 문제는 이 두께가 배선만큼 줄지 않는다는 것이다. Barrier는 Cu 확산을 막아야 하는 신뢰성 조건 때문에 배선 치수만큼 빨리 얇아질 수 없고, 그 결과 단면에서 Barrier가 차지하는 몫이 점점 커진다. 지금의 TaN은 약 1~1.5 nm까지 얇게 할 수 있지만, Barrier와 Liner를 합친 두께는 2~3 nm 아래로 줄이면 제 기능을 하지 못한다. 덜 고르게 덮이는 PVD는 가장 얇은 곳에서도 최소 두께를 지켜야 하므로 ALD보다 더 넓은 면적을 차지한다.

옆벽과 바닥이 두께 b의 Barrier로 덮인 폭 w, 높이 h의 홈을 생각하자. 전류는 가운데 Cu만 나르므로, 배선 전체를 하나의 금속으로 볼 때의 실효 비저항(Effective resistivity)은 Cu 비저항에 면적 비를 곱한 값이 된다.

숫자로 보자. AR 2(높이 = 폭의 2배), b = 2 nm일 때 폭 40 nm 배선은 단면의 약 88%가 Cu지만, 폭 12 nm 배선은 약 61%만 Cu다. 같은 Cu라도 실효 비저항이 1.64배가 되는 셈이다(계산). 여기에 Cu 자체의 크기 효과가 곱해진다.

근거: 면적 식, Cu의 λ·p·R 맞춤값, IRDS 2023 로드맵의 Mx 선 저항(2023년 피치 32 nm에서 300 Ω/µm, 2025년 피치 24 nm에서 475 Ω/µm). 그래프의 IRDS 점은 선폭을 피치의 절반으로 놓고 찍었다.

이제 직접 설계해 보자. 아래 도전 과제에서는 선폭과 선 저항 목표가 주어진다. 금속, Barrier 두께, 높이(AR)를 골라 목표를 맞추되, 신뢰성과 공정이 허락하는 범위를 지켜야 한다.

근거: Barrier+Liner 합 2~3 nm 하한(문제는 가장 낙관적인 2 nm를 쓴다)과 Ru의 0.3 nm TiN 접착층, 이중 다마신 Cu의 AR 2~3 한계와 식각으로 만든 Ru 배선의 AR 6 시연, Cu와 Ru의 λ·ρ₀·p·R. 같은 비교를 보정한 모델로 한 imec의 계산은 선폭 8 nm, AR 3에서 Ru(0.3 nm 접착층)의 선 저항이 2 nm Barrier/Liner를 쓴 Cu보다 약 3배 낮다고 보고했다. 이 장의 단순 모델은 같은 조건에서 약 2배로 Ru에 더 보수적이다(계산).

그래서 무엇을 바꾸나

IRDS 2023 로드맵은 상황을 이렇게 요약한다. Cu Barrier가 이상적으로 줄지 않아 금속 부피가 줄고 표면과 결정립계 산란이 늘면서, 배선 저항이 지수적으로 커지는 구간에 들어섰다. 그래서 새 Barrier 재료, ALD로 입히는 Barrier, 그리고 금속을 직접 식각해 만드는 높은 AR의 비 Cu 배선이 필요하다. 이 장에서 다룬 모델의 각 항이 바로 손잡이다.

금속을 바꾸는 이유는 흔히 오해된다. PREDICT에서 보았듯 이 장의 모델에서는 같은 폭이라면 Ru의 비저항이 10 nm에서도 Cu보다 높게 나온다. imec의 비교도 Ru의 이점이 더 낮은 비저항이 아니라, 두꺼운 Barrier와 Liner를 얇은 접착층으로 바꾸면서 늘어난 도체 부피에서 온다고 결론짓는다. 동시에 비저항이 크게 나빠지면 늘어난 부피의 이점을 까먹으므로, Barrier 없는 집적과 좋은 비저항 스케일링이 함께 있어야 한다고 덧붙인다. Philip 등의 계산에서도 약 21 nm보다 좁아지면 대체 금속이 Cu보다 선 저항이 낮아지는데, 그 이유가 Cu에 필요한 접착·젖음 Liner가 단면을 차지하기 때문이었다. Soulié 등이 Barrier와 Liner 없는 배선을 낮은 선 저항의 필수 조건으로 보는 이유다. 이 이야기는 8장에서 이어진다.